蘇小凱 分享實用知識

 

好奇心是知識的缺口【171】

微積分的力量

微積分無處不在，帶你瞭解微積分的影響力

 

 

作者叫做史蒂夫‧斯托加茨，美國康乃爾大學應用數學系教授，是非線性系統研究的專家，尤以其對動力系統同步問題的研究而知名。

 

很多大學生不感興趣的微積分，其實在生活抗癌、抗愛滋病、GPS、微波爐、《獨立宣言》…等，很多地方都是從微積分發展出來的，不論是否為大學生，都要瞭解微積分的價值，或許會因此多了學習的動機。

 

 

微積分解決三大謎題

 

第一個叫曲線之謎

第二個叫運動之謎

第三個叫變化之謎

 

微積分的三大核心問題

 

第一個叫正向問題，即已知一條曲線，求它各處切線的斜率，也就是變化率。

第二個叫反向問題，已知一條曲線的各處斜率，求這條曲線的方程。

第三個就是面積問題，已知一條曲線，求曲線下方的面積。

 

 

思考、系統、結構、整理、分析

 

我們在瞭解各領域都要先知道「系統」的全貌在哪裡，這樣就不用像個瞎子摸象，多花時間才能知道整頭大象的樣子。有興趣者就能往其重點地方探索和學習，讓好奇心成為一種習慣。

 

【170】匠人精神

 

「禁止挑食，就是一個人如果挑食，他也會挑工作。一個人如果挑食，他也會挑合作夥伴。如果集滿「3挑」，那麼這個人肯定不會成為一個優秀的工匠。」秋山利輝認真說。

 

「所以，在閱讀方面，也要禁止挑食。」我也認真說。

 

 

 

大綱

 

前言

微積分的定義

極限與無窮

微積分的大神

微積分的發展

微積分的應用

 

 

 

前言

 

感謝您能點開這本書，因為這本書的書名，有點拒人千里之外，叫作《微積分的力量》。

 

我在選擇要講這本書的時候，我們團隊的人都覺得我瘋了，說怎麼可能有那麼多的人想知道微積分是怎麼回事呢？但是我覺得這是我們的責任。

 

我們如果能讓中國人更多地瞭解什麼是微積分，更多地知道微積分對這個世界所產生的影響，我們的社會一定會變得不一樣。

 

我個人其實不是一個特別喜歡學微積分的人，我當年上學的時候也是硬著頭皮考過了試，考了80多分吧。

 

但是我在讀完了這本書以後，我對我的行為表示後悔，如果我當年早點知道這本書里的內容，我一定會更愛數學，我一定會更希望把數學學好。

 

所以這本書應該讓更多的年輕人讀到，大家才會知道數學是如此美妙。

 

我們現在所能見到的現代社會的種種方便，比如坐高鐵、坐飛機、打電話、用全球定位系統（GPS）出行、用網站……它背後有很多演算法，都是來自微積分的發明。沒有微積分，這些事情都無法實現。

 

你想想看，沒有微積分的數學是什麼數學呢？我們只能算勻速直線運動，勻速的我們可以算，變動的算不了了。這一個炮彈打出去，砰——到底打多遠？

 

它的速度從出膛到落地是不一樣的。所以沒有微積分這樣的工具，你無法準確地知道位置在哪兒，你只能算平均數，看平均的速度大概是多少，瞬時速度是不知道的。

 

所以沒有微積分，這些東西都無法實現。

 

包括我們現在抗癌、抗愛滋病所用到的醫學方法，全都是用數學的方式計算出來的。所以微積分被稱作是上帝的語言，如果你不瞭解微積分，根本讀不懂這個世界。

 

這本書的作者，是康奈爾大學的應用數學系教授。

 

他特別擅長把數學寫得讓大家能看得懂，所以我今天也會在他的基礎之上再簡化，把公式的部分盡量減少，讓所有完全沒有聽過微積分的人能知道微積分有多麼了不起，並且知道微積分到底是什麼。

 

 

 

微積分的定義

 

微積分就是想讓複雜的問題變得簡單的一個方法。世界比我們想象得復雜得多，比如說這個杯子的形狀，不是一個簡單的形狀，它很複雜。如果我們只用簡單的平面幾何、立體幾何，是無法計算清楚的。

 

但是微積分就有辦法讓它簡單化，這個過程就是微積分的總體思路。它的方法是什麼呢？

 

就是把復雜的問題切分成多個簡單的部分，切分到什麼程度？到無窮的程度。

 

如果你腦子里邊能稍微加入一點點想象力，加入一個無窮的概念，就能立刻理解微積分是怎麼回事。

 

我舉一個例子，您一定知道古人很想研究圓。因為古人的測量都是為了分地，那個地未必都是方的，有時候會有那種弧形的、圓形的，所以古人就想瞭解圓到底應該怎麼算。

 

周長大家比較容易瞭解，周長就是我做一個圓形的餅，我拿一根繩子繞著它這麼轉一圈，然後把這個繩子拿出來一量，就知道這個圓的周長了。

 

所以基本上古人是可以測量得出一個圓的周長的。那怎麼測量這個圓的面積？不能用繩子去測量圓的面積，所以我們就必須得發現圓的面積公式。

 

大家學過周長的公式，叫作π×d。πd是怎麼算出來的呢？把周長測出來，然後把直徑測出來，用周長除以直徑，得到的數就是π，所以π就是圓周率。

 

那你有沒有想過為什麼面積會是πr²，而不是πd²？這就是微積分的思想。你想象這是一個圓，我想知道它的面積，怎麼辦呢？

 

你想象像切西瓜一樣，沿著它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然後你把它掰開，上半截就變成了一個向下的鋸齒，下半截就變成了一個向上的鋸齒。

 

然後你把上半截和下半截對在一塊兒，成了一個什麼形狀呢？類似於一個長方形。

 

但是這個長方形的上邊不是一條直線，而是一個一個的弧度。那假如你把這個西瓜切到非常薄，薄到極限，那個弧度是不是就變成了一個一個的點？

 

用弧度構成的這條邊，是不是就變成了一條趨近於直線的東西？

 

這時候你發現，圓如果可以被切到無窮塊，那它將會成為一個相當標準的矩形。請問這個矩形的高是多少呢？是半徑。那個長的一邊呢？

 

是二分之一個周長，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr嗎？再乘以半徑，得出是πr²。現在大家知道πr²是怎麼來的了嗎？就是通過切分想象出來的。

 

所以古人能通過切分到無窮的程度，想象出來這麼一個構造，解決了測量圓面積的問題，這就是微積分的思想。

 

雖然它還沒有用到牛頓和萊布尼茨發明的微積分的手段，但這就是微積分的思想。

 

所以微積分的實質就是切分和重組，切分的過程叫微分，重組在一起叫積分。就這麼簡單，所以大家千萬不要覺得這是一件特別遙不可及的事。

 

 

 

極限與無窮

 

因為古希臘人特別喜歡研究數學，結果到了公元前250年左右，大家都來研究這個東西。

 

那個時候他們就已經有了微積分的思想，所以微積分不是一件很可怕的事，微積分最主要的應用就是解決三大謎題。

 

第一個叫曲線之謎，就是我們說圓形怎麼算？弧形怎麼算？拋物線怎麼算？那我現在出一道稍微難一點的題，就是一條拋物線這麼拋出去，你會不會算這個拋物線下邊的面積？

 

我相信很多人都忘了。但是這在微積分中是最簡單的一道題。給你一個拋物線的公式，能算出拋物線底下的面積，這叫曲線之謎。

 

第二個叫運動之謎，世界上的勻速直線運動幾乎沒有，你不可能見到哪個人是一直保持勻速直線運動的，他一定會有加速和減速的過程。

 

如果運動之謎解決不了，你的炮彈打得就不準，就無法準確地計算這個炮彈落下去在哪兒，所以這跟軍事是有關的。

 

第三個叫作變化之謎，就比如說你體內的細胞增長了、減少了，這個變化的速率是不均勻的，所以用簡單的加減乘除根本無法計算。

 

我們過去經常非常狂妄地講“我學了太多數學都沒用”，因為到了社會上以後，我們用到的數學公式基本上沒有超過加減乘除，偶爾在買房的時候需要用到“平方”。

 

我們會說“我從來不知道log是什麼，照樣過得很好”，我們太狂妄了。

 

如果這個世界上所有的人都不知道log是什麼的話，你肯定不會過得這麼好，因為那些需要解決的問題，我們根本解決不了。

 

所以像這三大問題：曲線之謎、運動之謎和變化之謎，跟我們的生活息息相關。沒有微積分這樣的工具，我們都無從瞭解。

 

好了，接下來一步一步地深入微積分了。

 

第一個概念就是無窮，無窮是一個特別有意思的東西，你要知道無窮的魅力和危險。

 

比如說，咱們在《思想實驗》那本書里邊詳細地講過芝諾悖論。

 

芝諾說，阿喀琉斯永遠追不上烏龜。烏龜比阿喀琉斯先出發1米，然後讓阿喀琉斯去追烏龜，結論是阿喀琉斯永遠追不上烏龜。

 

他說在烏龜往前走一點的過程中，需要一個時間；阿喀琉斯追它也需要一個時間。當阿喀琉斯走到烏龜原來的位置，在相同時間內，烏龜也往前挪了一點點。

 

在下一個時間段，當阿喀琉斯又走到烏龜原來的位置，在相同時間內，烏龜又往前挪了一點點。

 

所以結論出來了，阿喀琉斯永遠追不上烏龜。有道理嗎？這個命題我現在不挑戰大家了，因為人類自古到今天，無法解釋這個問題。

 

最後有數學家解釋說，你不知道極限嗎？烏龜每次走得少一點，少一點，少一點，最後加在一起，不會超過1。

 

阿喀琉斯還論證說，你朝一面牆走，每次走1/2，永遠走不到那面牆跟前。

 

因為你要走到那兒去，必然走過中間的一半，你走過這個一半以後，必然得走過那個中間的一半，也就是1/4的地方。

 

然後你得再走過1/8的地方、1/16的地方、1/32的地方……你永遠都得走過你和這個牆中間距離的一半的位置。

 

所以就算再小，你和牆之間都隔著一個微小的一半，所以你走不到那面牆跟前去。

 

這種想法會把人類折磨瘋，因為大家覺得有道理，聽起來好像是走不過去，但現實中你一下子就走到那兒去了，原因是什麼呢？

 

這里邊有個極限的問題，極限是一個特別好玩的事。當你把那個圓的邊長想象成平的的時候，請問對嗎？我告訴你一定不對。

 

因為它肯定不是平的，它是個極限，所以你要抵抗一種誘惑——把極限想象成是0的誘惑。那雖然是個很小的點，但絕不是0。如果它是0，導致的結果就是整個世界會混亂。

 

所以大家就理解了，為什麼從小學數學的時候，老師反復跟你強調一件事，說是古人規定的，0不能做分母。

 

2÷0等於幾？沒這樣的題。因為2÷0等於無窮，3÷0也等於無窮，10÷0也等於無窮，那結論是什麼？2=3=10，全等於，全世界都一樣，這很明顯是錯的。

 

所以除數為0會召喚出無窮，這個無窮就會導致整個世界的邏輯混亂，就意味著這個杯子跟桌子是相等的，因為它們除以0都一樣。

 

各位知道，布魯諾是怎麼被燒死的嗎？當時布魯諾認為，上帝以其無窮的力量創造了不計其數的世界。

 

這個論斷說出來了以後，他就被當作異端燒死了。所以我們說，古人不敢召喚出無窮，因為覺得無窮是一個很難駕馭的東西。

 

阿基米德還算出了拋物線弓形的面積。咱們現在會算拋物線下邊的面積，有公式就能算得出來。

 

那如果在拋物線的頂上切一刀，這上面就形成了一個不規則的弓形，這個弓形的面積怎麼算？

 

那時候也沒有微積分的工具，所以他的辦法是在這個弓形內畫一個三角形，但是兩邊多出兩個耳朵，這兩個耳朵怎麼辦呢？

 

再畫兩個三角形，這不就又接近一點了嗎？把面積又摳小了一點，又多出四個小耳朵，再畫四個三角形，然後把這個三角形無窮無盡地畫下去，最後一直畫到什麼程度呢？

 

畫到無窮小的程度，把那個極小值忽略掉，得到的幾乎就是那個弓形的面積了。因為無法用無窮來算，所以這個叫作忽略極小值。

 

這就是阿基米德當年所用的研究弓形面積的方法。

 

大家千萬不要覺得這個方法過時，直到今天三維建模還是採用這個方法，比如說《怪物史萊克》全部都是用三角形來建模的。

 

也就是說其中的人物有多清晰，取決於他們用的那個小三角形有多小，當那個三角形小到足夠小的時候，就和一條完美的弧線是一樣的。

 

所以直到今天，阿基米德所用的這個方法，我們的計算機和數學建模依然在用，只不過計算機增加了它運算的能力，多了不起！

 

我們過去一直以為，微積分是17世紀的人的發明，是牛頓、萊布尼茨他們的發明，直到1998年10月，阿基米德的手稿重見天日。

 

有人在一個拍賣會上看到了那個手稿，就是他當年在算這些東西時的想法。所以他是真正的微積分思想的奠基人，他那時候已經用到了微積分的想法。

 

你們知道阿基米德是怎麼死的嗎？羅馬人攻進了希臘，當時阿基米德還在他的房間裡面做演算。

 

羅馬人的將軍告訴士兵說，阿基米德一定要留著，因為他是個偉人，所以千萬不要打擾他。

 

結果有一隊士兵踹開他的門，進到他房間的時候，一腳踩壞了他演算的稿紙，然後阿基米德說：“出去！你們打擾到我計算了。”於是那個人一刀就把他捅死了。

 

阿基米德在死之前說：“在現在和未來的幾個世紀中，某些人會利用這種方法，找到我們尚未掌握的其他定理。” 

 

你知道這句話是寫給誰的嗎？後來揭開這個謎題的就是牛頓，就是牛頓用了微積分的思想徹底揭開了宇宙的奧秘。

 

“這位無與倫比的天才在數學的無限性面前感到了自己生命的有限性。他認識到還有很多事情要做，也就是找到我們尚未掌握的其他定理。

 

所有數學家都有這樣的感覺，我們的研究課題永無止境，就連阿基米德本人也要俯首稱臣。”

 

 

 

微積分的大神

 

現在大家對無窮有概念了，無窮是瞭解微積分的第一步。你得能夠想象出一個無窮小，但它不是0，然後去模擬接下來的運動。運動之謎的奠基人是伽利略。

 

伽利略認為宇宙是一部偉大的著作，而這部著作是用數學的語言寫成的。

 

就是說你如果不懂數學，你無法讀懂這個宇宙。咱們在《機械宇宙》那本書里邊詳細地講過伽利略發現運動之謎的過程，大家有機會去聽一下《機械宇宙》就知道了。

 

伽利略還去看鐘擺的擺動。他發現無論鐘擺的擺幅多少，所用時間都是一樣的。

 

伽利略是怎麼發現的呢？那時候沒有手錶，伽利略是摸著脈搏做的實驗，沒有伽利略的研究，後面就不可能有手錶。

 

包括全球定位系統的原型、我們今天用到的原子鐘，也是通過這些東西來的。

 

我給大家念一下這個原子鐘是怎麼回事，你就會知道道理其實都一樣。

 

“原子鐘是伽利略擺鐘的現代版本，盡管它和擺鐘一樣，也是通過計數振動次數來計時，但它追蹤的並不是擺錘的來回擺動，而是計數銫原子在其兩種能態間來回轉換時的振動次數，這種能態轉換每秒鐘要進行9,192,631,770（約91億）次。

 

雖然原子鐘和擺鐘的運行機制不同，但原理是一樣的，即重複性的往復運動可以用來計時。

 

“反過來，時間也可以確定你的位置。

 

GPS（全球定位系統）的24顆衛星在12000英里的高空繞軌運行，當你使用汽車上的GPS導航儀時，你的設備至少會從其中的4顆衛星那裡接收無線信號。

 

每顆衛星都搭載著4台原子鐘，它們的時間精密度均可以達到納秒（十億分之一秒）級。

 

你的接收器會收到多個可見衛星發出的一連串信號，其中每個信號的時間戳都可以精確到納秒。

 

這正是需要用到原子鐘的地方，它們驚人的時間精密度被轉化成我們期望GPS具有的空間精密度。”

 

然後再用三角函數測量出你的位置。所以大家就會很奇怪說，這手機怎麼知道我在哪兒呢？

 

手機怎麼知道我在橋上橋下？現在都這麼精確，因為它是納秒級別的時間記錄，用時間記錄就可以知道你和衛星之間的距離，這個系統的幾乎所有功能都取決於微積分。

 

“想想衛星和接收器之間的無線通信，通過麥克斯韋所做的研究，微積分預言了電磁波的存在，從而使無線通信成為可能。

 

所以沒有微積分，就不會有無線通信和GPS。同樣地，GPS衛星上的原子鐘利用的是銫原子的量子力學振動，而微積分是量子力學方程及其求解方法的基礎，所以沒有微積分就不會有原子鐘。”

 

伽利略通過鐘擺實驗幫我們揭示了時間和運動之間的關系，除此之外，那時候他們都想解決的一個問題就是經度測試的問題。

 

你知道航海的時候，緯度容易發現，只要你看太陽的位置，你就知道自己在什麼緯度上；但經度很難發現，經度無法測算，所以會出現很多觸礁、跑偏的情況，甚至出現事故。

 

所以當時荷蘭、英國這些航海大國就發起懸賞，誰能夠解決經度測試的問題，就給誰巨額的獎金。

 

一直到18世紀中期，英國一個叫哈里森的人，才用伽利略的原理解決了經度測量的問題。

 

當時的獎金多少錢你知道嗎？2萬英鎊，極高額的一個獎勵，因為他幫航海解決了幾乎所有的安全問題。既能測量經度，又能夠測量緯度，人們就知道船在什麼地方了。

 

那接下來，另外一位研究運動的高手就是開普勒。過去亞里士多德認為，所有的行星都在正圓軌道上運行。

 

因為正圓是美好的，天上的東西肯定都是美好的，所以運行軌道就是正圓軌道。但是開普勒說，行星是在橢圓軌道上運行的。在橢圓軌道上運行，就意味著它有變速運動。

 

這些無法徹底通過計算來解決，原因就是當時的人掌握的數學工具不夠，需要等到牛頓出現。

 

因為橢圓的運動是完全變動的，形狀是變動的、速度是變動的，我們過去的數學工具無法解決這個問題，所以就要等到微積分的真正誕生才行。

 

有一個有意思的事是，伽利略和開普勒之間經常互相通信，他們倆是朋友。大家都不明白，為什麼17世紀會是人類的一個分界線，人們從17世紀開始走入科學，17世紀以前都是宗教。

 

原因就是17世紀有了郵政系統，郵政系統使得像伽利略、開普勒和牛頓這些人可以互相寫信來矯正自己的思想，所以才會有了同行的評議、有了共識，後來會誕生了英國皇家學會。

 

所以人類世界的種種變化背後，都有它的技術原因。

 

人類是先有積分思想，後有微分思想，為什麼呢？因為積分是誕生在幾何之上，微分是誕生在代數之上的，代數比幾何要晚。

 

我們今天學習微積分的時候，是先學微分，再學積分。因為微分簡單，就是求導；積分要反過來，積分更難，但是積分的思想更早出現。

 

代數加幾何，就等於我們說的解析幾何，就是笛卡爾他們搞的那個東西。

 

所以我們今天研究曲線底下的面積或研究曲線的變化率，實際上都是方程。

 

而這個方程可以代表我們生活當中的方方面面，無論它是飛機、病毒，還是建築物，都可以用這個坐標系來實現。

 

那麼我們說，開普勒跟伽利略算一對搭檔，他們倆一塊兒出現；另外一對搭檔就是費馬和笛卡爾。費馬和笛卡爾兩個人競爭得很激烈，笛卡爾比費馬大幾歲，而且笛卡爾的地位很高，他覺得費馬就是個窮小子。

 

但是在他們一生的競爭當中，幾乎永遠都是費馬贏。

 

費馬能夠很輕松地解決很多笛卡爾解決不了的問題，而且費馬提出的很多想法都比笛卡爾更早。他不用求導數的方法，就能夠找出最大值。

 

我們在這兒念一段關於費馬的貢獻：

 

 

“費馬為現代形式的微積分鋪平了道路，他的最短時間原理揭示出最優化深深地嵌在大自然的結構之中。”大自然是追求最優化的，因為它的進化就是朝著最優的方向去的。

 

 

“他在解析幾何和切線方面的研究開闢了一條通往微分學之路，其他人將沿著這條路繼續前進。他高超的代數技巧讓他能夠求出某些曲線下方的面積。”

 

他求曲線下方面積的方法是把這條曲線用一根一根的梁支起來。你想象有很多根小的矩形，然後把這個小的矩形的面積算出來，加在一起，不就是等於這個曲線的面積了嗎？

 

“費馬的研究成果使積分學向前邁進了一大步，並為接下來的突破奠定了基礎。”

 

“盡管如此，他的成果仍然比不上牛頓和萊布尼茨即將發現的那個秘密，後者徹底改變並統一了微積分的兩個部分。

 

費馬已經很接近這個秘密了，但遺憾的是，他錯過了它。缺少的一環與他創造的某個東西有關，這個東西就隱含在他求最大值和切線的方法中，但他從未意識到它的重要性。

 

它後來被人們稱為導數，它的應用將遠遠超出曲線及其切線的範疇，能夠涵蓋任何種類的變化。”

 

 

 

微積分的發展

 

我知道很多沒有學過數學的人聽到“導數”這個詞的時候，就已經開始有點反胃了。

 

導數是什麼呢？比如說這兒有一條曲線，曲線上有一條切線，這個切線的斜率就是切點的導數，切線的斜率表示的是變化率。那你想想看，變化率多麼重要！

 

我們在生活當中總得知道，一個東西多快？多陡？多敏感？凡是你問這樣的問題的時候，其實問的都是變化率。

 

變化率怎麼算出來呢？唯一的辦法就是求導。你能夠在每一個點上求出導數，你就知道這個點的變化率。

 

等牛頓和萊布尼茨登場以後，微積分的三大核心問題。

 

第一個叫正向問題，即已知一條曲線，求它各處切線的斜率，也就是變化率。

 

第二個叫反向問題，已知一條曲線的各處斜率，求這條曲線的方程。

 

第三個就是面積問題，已知一條曲線，求曲線下方的面積。

 

微積分說到底就這三件事，就是知道切線，求方程；知道方程，求切線；知道方程，求面積。

 

我們上學的時候把它當作考試來對待，不知道它的意義，但實際上這個可以應用在醫學、建築、火箭發動機等各個方面。

 

因為只要是變動的運算，都可以用方程和圖形來表示，這就是微積分的力量所在，這三大核心問題涉及物理、工程、金融、醫學等等。

 

人的大腦比較善於理解線性問題，線性的東西我們都比較容易理解，但是非線性的東西很不容易理解，我們的辦法只有什麼呢？放大曲線中的圖像。

 

比如說這兒有條曲線，曲線的變化率不知道是多少，怎麼辦呢？我就把它放大，把這個曲線放到足夠大，用顯微鏡去看這一小段。

 

請問，再彎曲的曲線在這一小段上拿顯微鏡去看，是不是都像是一條直線？這就是微積分的方法。

 

然後發現那個看起來很奇怪的曲里拐彎的曲線，在這個點上就是一條斜線，是直的。 這時候我們就容易理解了，所以這就是求導數。

 

這些東西是牛頓、萊布尼茨他們這些人幫我們解決了。所以可以怎麼理解呢？牛頓和萊布尼茨幫我們馴化了數學，馴化了這頭難以掌控的野獸。

 

我爸年輕的時候做過一件很了不起的事。我爸是一個數學老師，被下放到農村去鍛煉，農村有一個從蘇聯進口的機器，那個機器底下有一個弧形的刀片。

 

那個刀片捲在土地裡面不就可以翻土嗎？結果蘇聯對我們製裁，我們就無法買那個零部件了，就得自己生產那個犁頭。

 

但是犁頭的形狀是彎曲的，不知道怎麼生產那個高科技的犁頭，因為不知道那個曲面方程怎麼弄，所有人都一籌莫展。

 

然後我爸就把那個東西拿出來，量了一下，把那個方程給算出來了。

 

算出來了以後，就能生產那個刀片了。這就是我們說的知道切線能求方程的應用，之後我爸還順便寫了篇論文發表在數學雜志上。

 

所以大家知道，微積分離我們其實並不遠，就是解決我們生活中問題的東西，包括我們晝夜的變化速率、物種的平衡等等。

 

比如說，這草原上狼多好還是羊多好？假如你說狼很壞，把狼都打死吧。

 

狼都打死，羊多了，草就沒了，草沒了，人也受影響；那你說多養狼，狼太多，把羊吃沒了，狼就餓死了，狼要吃人怎麼辦呢？

 

所以物種平衡怎麼把握？你看是不是不同的變化率？只要牽扯不同的變化率，就需要通過微積分來計算。

 

好了，終於到牛頓和萊布尼茨了。牛頓和萊布尼茨是徹底揭開了這個秘密的人，他們把之前的微積分思想徹底變成了微積分工具。

 

“在牛頓和萊布尼茨創立微積分之後，情況發生了變化。他們各自發現並證明瞭一個基本定理，它能使這類問題常規化。

 

該定理將面積與斜率聯系起來，進而將積分與導數聯系在一起。這個基本定理的影響力驚人，幾乎一夜之間面積問題就變得容易解決了。”

 

牛頓說：“並非所有方程都可以用曲線來表示，但我能在不到半刻鐘的時間內，判斷出它是否可以求積。”

 

“牛頓的隱秘源泉就是微積分基本定理。盡管他和萊布尼茨都不是最早註意到這個定理的人。”

 

但他們創立的方法，現在已經普及開來。微積分這頭怪獸被拔除了尖牙，變成了青少年的家庭作業。所以我就想跟孩子們講，你今天學高等數學、學微積分，覺得很頭疼。

 

假如你能把它當作一頭被拔掉了尖牙的怪獸來對待，你不覺得自己無上光榮嗎？

 

你的先輩幫你解決了這個問題，讓你能夠很愉快地計算這個奇怪的圖形的面積，這是一件多麼光榮的事情！

 

我們千萬不要荒廢了，不要到了我這個年紀才覺得微積分很重要。學習微積分的學生，一直浸淫在基本定理當中，所以我們將它視為理所當然。

 

我們今天不會感謝牛頓和萊布尼茨，只會覺得他們給我們增加了家庭作業，我們覺得理所當然，但這個過程是非常艱難的過程，沒有他們這樣的洞察和發現，我們今天根本不會求積分。

 

 

那你知道如果曲線求積的問題得到瞭解決，會怎樣嗎？

 

“它將引起一個連鎖反應，就像被推倒的多米諾骨牌一樣，一個接一個問題都會迎刃而解。而且我們可以用它來回答笛卡爾眼中那個超出人類理解範圍的問題，即算出任意曲線的弧長。

 

有了它，人們就可能算出平面上任何一個不規則形狀的面積，還可以計算球面、拋物面、瓮、桶以及其他繞過軸旋轉曲線所得到的曲面的錶面積、體積、重心。

 

“不僅如此，某些預測問題將得到解決。只要解決了曲線求積問題，我們就可以預測出運動物體在遙遠未來的位置。

 

比如，即使一顆行星受到的引力與我們宇宙中的引力不同，我們也能預測出某一時刻它在軌道上的位置。

 

我之所以稱曲線求積問題為積分學的聖杯，是因為許許多多的其他問題都可歸結為這個問題。如果它被解決了，其他問題也會得到解決。

 

“這就是算出任意曲線下方面積如此重要的原因……從現代的角度看，面積問題旨在預測以不斷變化的速率變化的事物和與它隨時間的累積程度之間的關系。

 

它與銀行帳戶的波動性流入和累計餘額有關；它與世界人口的增長率和地球上的凈人口數有關；它與化療藥物在患者血液中不斷變化的濃度和隨時間的累積暴露劑量有關，因為總暴露量會影響化療藥物的效果和毒性。”

 

面積問題之所以重要，因為它跟我們生活的方方面面都有聯系。大家知道斜率是變化速率問題，面積是累積效果問題，就是用這樣的速度做了這麼長的時間，最後到底做了多少呢？這就是面積問題。

 

所以在生活當中，我們不但要知道變化速率問題，也要知道累積效果問題。變化速率是微分，整個面積是積分，這就是微積分。

 

 

 

微積分的應用

 

我給大家講一個很感人的例子。在過去，愛滋病是一個不治之症。所以大家覺得愛滋病會把地球上人口都消滅掉，因為愛滋病的潛伏期是十年。

 

在這十年時間里，這個人看起來一點問題都沒有，所以他就可以正常地生活和交往。各位你想想看，十年期間他帶著病毒到處跟人交往，沒有任何問題，但時間一過很快就死，死亡率極高。

 

所以大家當時很恐慌，覺得愛滋病會讓人類滅亡，但是愛滋病並沒有這樣，原因是什麼呢？就是因為有一個華裔的醫學家何大一，他和數學家艾倫·佩雷爾森用微積分解決了愛滋病病毒的問題。

 

他們發現在這十年的病毒期間，以前的治療方法就是沒辦法，這十年反正是潛伏期，也沒什麼症狀，就別治了，等到發作再說吧。所以一發作，人就死了。

 

於是何大一和他的搭檔，就在人體當中截取了一個微小時間段中的病毒變化數，然後去計算病毒漲落的方程。

 

最後發現這十年時間里，病毒並不是沒有發作，而是天天發作，但是你的白細胞和自然殺傷細胞每天都在和病毒作戰。

 

你的白細胞的大量工作，使得病毒在你體內的數量達到了均衡，看起來是不動的，但實際上每天有大量的病毒死去，有大量病毒產生，然後你的白細胞和自然殺傷細胞有大量的損耗。

 

所以當你用數學定義了這件事以後，你就可以給他配藥，然後就發明瞭雞尾酒療法。

 

雞尾酒療法是什麼呢？通俗點講，就是在這十年時間里，給你的白細胞幫忙，讓你的白細胞能夠更厲害一點。

 

所以現在愛滋病已經變成了一個慢性病，基本上它不會像過去那樣，得了就死了。

 

只要你長期吃藥，就能夠一直活下去，這是多麼了不起的發現！而這個發現的背後，就是大量的我們大家看起來很頭疼的數學公式。

 

1996年，何大一博士被評選為《時代》周刊的年度風雲人物，厲害嗎？這就是微積分的力量。

 

牛頓寫了《自然哲學的數學原理》，揭示了力學的世界，然後用三重積分的方法幫我們解決了二體問題。

 

地球跟月亮、兩個星星互相吸引，這叫作二體問題。

 

二體問題其實很難計算，因為它在變動當中，牛頓用三重積分的方法解決了，所以我們能夠預測月亮的軌道。

 

但是三體問題無法解決，牛頓到死都沒有解決三體問題，現在的科學家可能也很難算出來，三體問題始終是一個很難的問題，所以那本小說叫《三體》，就是從這兒來的。

 

再給大家講一個案例，一個美國的女性黑人科學家凱瑟琳·約翰遜，曾經被拍成過一部電影，叫《隱藏人物》。

 

“1962年2月20日，約翰·格倫上校完成了繞地球飛行三周的任務後，在約翰遜精確計算的指導下重返大氣層，並且安全地降落在北大西洋，他是美國的英雄，後來當選了參議員。

 

但很少有人知道，在格倫創造歷史的那一天，直到凱瑟琳·約翰遜本人檢查了所有攸關生死的計算後，他才同意執行這次飛行任務。換而言之，格倫把自己的生命托付給了約翰遜這個數學家。”

 

為什麼呢？你想一個人從太空軌道上要回歸地球，地球上的地貌有多麼複雜，有山、有海、有風、有各式各樣的這種地貌，你降落的位置只要稍微偏一點點，沒有降落到他們指定的大西洋的那個位置上，這人就死了。

 

那這個計算怎麼完成呢？假如我們只學一個πr2這樣的方式，根本完成不了。

 

1962年沒有那麼發達的計算機，這個黑人女科學家就用粉筆在黑板上手算大量的公式，算各種各樣的形狀，算地球上的每一個位置，確定他最後會落在大西洋上的那個位置，然後這個英雄才願意執行這個飛行任務。

 

最後格倫成為英雄，當了參議員，但是約翰遜一直默默無聞，她是一個隱藏的人物，她在背後，大家不知道這個數學家所做的貢獻。

 

一直到2015年，97歲高齡的她獲得了奧巴馬總統頒發的總統自由勛章。一年以後，美國國家航空航天局（NASA）以她的名字命名了一座大樓，大家認可了這位數學家的貢獻。

 

作者甚至說，連《獨立宣言》都是在微積分的影響之下寫出來的。大家會覺得很奇怪，《獨立宣言》是個政治的東西、文字的東西，怎麼會跟微積分有關呢？

 

你要知道《獨立宣言》的起草者傑斐遜是美國的第三任總統，傑斐遜本人是一個建築師、發明家和農場主，同時也是第三任總統和《獨立宣言》的起草者。

 

除此之外，他還是牛頓的信徒，所以《獨立宣言》開篇所寫的話就跟牛頓在《自然哲學的數學原理》那本書中所寫的一模一樣，叫作“我們認為有些真理不證自明”。

 

也就是說從公理著手，然後憑著邏輯的力量，他從這些公理中推導出一系列難以迴避的問題，這就是《獨立宣言》的起草思路。

 

而這個思路來自哪兒呢？來自牛頓寫的《自然哲學的數學原理》。

 

我們上中學的時候學幾何，是不是上來就先跟大家講公理？說有些公理不證自明。

 

比如說兩條平行線不會相交，這是公理；三角形兩邊之和大於第三邊，這是公理；兩點之間直線最短，這是公理。

 

我們那時候不明白為什麼要有公理？公理就是要搭建的一個聖殿底下的基礎，沿著這幾個基礎，全部都是公理和公理之間的應用和引用，從而證明出定理，然後這個定理如果得到認可，它就可以像公理一樣被使用，然後再去證明下一個定理。

 

人類就是這樣一步一步地往前推進的，這就是科學的思想。所以連《獨立宣言》都是來自微積分的影響。

 

我們剛剛講的所有的東西，你聽起來已經很複雜了，但它只是常微分方程。常微分方程就是只有一個變量的方程，但是我們在生活當中，其實面臨的是更多個變量。

 

比如說飛機的機翼一展開，在天上這樣抖。飛機的機翼是多麼複雜的形狀，它不是圓形、不是圓柱、不是圓錐，它全是弧線和曲面。

 

天上的風的力量極大，如果你不能夠很好地計算這個翅膀所承受的每一個點的力量，你怎麼知道它飛著飛著不會掉了呢？

 

因為我經常飛嘛，我就經常問那些飛行員，飛機整天在這兒飛，靠不靠譜啊？飛行員說各種事故他們都見過，沒見過晃散了的。

 

因為咱們最擔心的就是晃，咱們在飛機上上下左右這麼晃，就覺得要嚇死了。

 

那天我坐飛機，我旁邊一個陌生的女士，在晃的時候直接過來抓我的手，你知道嗎？

 

她嚇壞了，晃得太厲害了。我們覺得晃是很危險的一件事，飛行員告訴我說，他們乾了一輩子，沒見過哪個飛機是晃散架的，所以你就想想看，這個飛機有多結實！

 

但你想想那個翅膀那麼薄，天空中那麼大的風，怎麼能夠確定它是安全的呢？

 

“其中涉及的數學計算可能難度極大，部分原因在於飛機的幾何結構十分複雜。

 

飛機不像球體、風箏或者輕木滑翔機，它的形狀復雜得多，包含機翼、機身、發動機、尾翼、襟翼和起落裝置，這些組成部分都能使高速掠過飛機的氣流發生偏轉。

 

而且，高速氣流一旦發生偏轉，就會對使它偏轉的物體施加一個力。”你把手伸到車窗外邊去，有沒有感受到很大的力在推你的手？

 

這個就是你使得那個風發生偏轉了，一偏轉，力量就來了。所以你那個發動機上的大疙瘩，遇到了風吹，它就抖，因為它大，影響了風的方向。

 

“偏微分方程在這個過程當中發揮了諸多方面的作用。比如，除了計算升力和阻力之外，波音公司的應用數學家還用微積分預測了飛機以600英里的時速飛行時機翼會如何彎曲。

 

當機翼受到升力時，升力會導致機翼向上彎曲和扭曲，工程師試圖避免的一種現象是被稱為氣動彈性顫振的危險效應，它類似於微風吹過百葉窗簾時發生的顫振。”

 

你看風吹百葉窗是什麼反應？它是上下抖動。

 

“在最好的情況下，機翼的這種不受歡迎的振動會造成旅途的顛簸和不適。而在最壞的情況下，這種振動會形成一個正反饋迴路：當機翼震顫時，它們會改變周圍的氣流，並使自身震顫得更厲害。

 

眾所周知，氣動彈性顫振會損壞實驗飛機的機翼，導致結構失效和墜毀。”它抖得太厲害了以後，力量不斷地正向反饋，變得越來越大，機翼可能會斷掉。

 

所以，“波音公司的數學家將機翼近似分解為幾十萬個微型立方體、棱柱體和四面體，這些較為簡單的形狀扮演著基本結構單元的角色。

 

就像在面部手術的建模階段一樣，他們先要為每個構建單元的剛度和彈性賦值，然後這些構建單元會受到臨近構建單元施加的推力和拉力。

 

彈性理論的偏微分方程可以預測出每個構建單元會對這些力做出怎樣的反應，最終在超級計算機的幫助下，所有這些反應會被組合起來，用於預測機翼的總體振動情況”。

 

天哪，也就是說他不能把機翼當作一個整板，他要把機翼切成一個一個的小形狀，這些小形狀之間還要互相傳導力量，最後才能夠算出來機翼的安全承受力。

 

所以你坐飛機的時候，不同的飛機顛簸程度是不一樣的。千萬別把顛簸程度簡單地當作是今天運氣不好，遇上風了。

 

不是，你坐糟糕的飛機就會顛得厲害，你坐新的、大的、好的飛機，就會顛得輕，因為它的計算能力更強了。

 

這就是我們的生活所受益的地方，所以我相信講到這兒，大家基本上能夠理解為什麼我們要讓孩子學微積分，為什麼我們需要好好學微積分。

 

有的孩子有一個巨集大的目標，說想成為科學家，那你得學微積分。有的說我想成為生物學家，看起來不要數學對嗎？要好好學微積分，沒有微積分，你根本不可能成為生物學家。

 

有的說我想成為經濟學家，去學微積分。有的說想成為投資人、銀行家，去學微積分。你做任何東西，想做到高手，都得懂數學，否則你是在錶面上停留的。

 

包括我們用的微波爐，完全是用微積分發明出來的。當年一個研究武器的公司發現了用在武器上的磁控管，但是不知道民用該怎麼用。

 

後來有一個實驗人員在用磁控管做實驗的時候，突然發現自己口袋裡的花生巧克力化掉了，原因是磁控管產生的波會使得巧克力內部發生振動，從而加熱。

 

而且你可以用微波爐來測量光速，這個我相信很多人不明白，微波爐怎麼測量光速？其實這事可以做實驗的，當然，還是安全第一。

 

你把微波爐里邊的轉盤拿出來，然後放一塊乳酪在盤子里，放進微波爐加熱。

 

加熱三十秒以後，把盤子取出來。這時候你會看到乳酪有的地方已經熔化了，有的地方還沒熔化，它先熔化的地方是哪兒呢？先熔化的地方就是熱點。

 

這個熱點對應著微波爐微波模式的腹點，也就是振動最劇烈的地方，它類似於正弦波的波峰和波谷。

 

對於一臺運行頻率為2.45千兆赫的標準微波爐，你會發現兩個相鄰熔點之間的距離大約是6釐米，這是從波峰到波谷的距離，也就是半波長。

 

那麼實際上它的波長就是12釐米。順便說一下，怎麼用它計算光速呢？將微波爐的振動頻率乘以你在實驗中測得的這個波長，就能夠得出光速，或者非常接近光速的結果，就那麼好玩。

 

而微波爐的原理就來自傅里葉，傅里葉就是發現了用正弦波來解決這些問題的人。

 

他把這些東西都簡化為正弦波，後來發現正弦波真的很好用，包括我們今天做電腦斷層掃描（CT）、核磁共振掃描（MRI）、我們用的電子琴、語音合成器，全部都是用正弦波的原理，它們的奠基人都是傅里葉。

 

沒有他就沒有我們今天所用的這些跟波有關的東西。未來微積分將用來做什麼呢？

 

微積分會用來計算DNA的纏繞數、計算非線性問題、計算混沌問題、計算複雜系統和高維詛咒的問題，就是高維幾何，黎曼幾何就是搞這個的。

 

包括計算機、人工智慧以及洞察力的問題，其實未來都是用更高級的數學工具來解決，因為數學工具也在進化。

 

黎曼幾何就是數學工具的進化，用高級的代數、高級的微積分，去解決更加複雜的問題。

 

最後在本書結束的時候，讓我們回到愛因斯坦，因為愛因斯坦畢竟是人類歷史上最偉大的科學家。

 

2017年的諾貝爾物理學獎獲得者是引力波的探測者。引力波是什麼呢？引力波是廣義相對論預測到的又一個驚人的效應。

 

“這個理論指出，一對互相纏繞的黑洞會在它們周圍的時空中形成漩渦，並有節奏地拉伸和擠壓時空，由此產生的時空擾動會像漣漪一樣以光速向外擴散。

 

愛因斯坦曾經懷疑我們不可能測量到這種波，並擔心它可能只是一種數學錯覺。”數學錯覺就是數學上說得通，但是實際上看不到。

 

2017年諾貝爾物理學獎的獲得者的關鍵成就在於，他們設計並製造出了有史以來最靈敏的探測器。

 

“2015年9月14日，他們的裝置探測到一個時空震顫，僅相當於質子直徑的千分之一。

 

作為對照，這就好比將地球與太陽的距離微調了相當於人的一根頭發直徑的長度。”就這麼小的一個震顫，在2015年被人類的儀器捕捉到了。

 

本書的作者寫書最美好的地方就在於，他雖然寫數學，但他有著非常強烈的人文情懷和詩一樣的語言。他發出感慨說：

 

“作為漂浮在一個中量級星系中的一顆微不足道的行星上的一個無足輕重的物種，智人是如何成功預測出，在距離地球十億光年之遙的浩瀚宇宙中的兩個黑洞相撞後，時空會發生怎樣的震顫呢？

 

我們早在引力波到達地球之前就知道它的聲音應該是什麼樣子了。而且，多虧有微積分、計算機和愛因斯坦，我們的預測是正確的。

 

“引力波是人類有史以來聽過的最微弱的耳語。在我們成為靈長類動物之前，在我們成為哺乳動物之前，甚至在我們還是微生物的時候，這種輕柔而微小的波就已經開始朝我們漾來。

 

當它在2015年的那一天抵達地球的時候，因為我們正在傾聽，也因為我們通曉微積分，所以我們才能聽懂這輕柔的耳語意味著什麼。”

 

我的天哪，還有比這更崇高而美好的事情嗎？所以我要再次感謝你有耐心聽我講完這本書。

 

從一開始的勇氣到最後能夠聽完，我相信你對微積分會有一個完全不同的感受。就像我讀完了這本書一樣，我們不再排斥它，我們不再憎恨它，我們不再把它當作一個唯恐避之不及的東西。

 

如果你不懂，也請你想盡量地瞭解它、尊重它，而不是說“我根本不感興趣”，因為這是我們人類賴以生存的有別於其他動物的最重要的工具之一。

 

 

 

 

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圖取材自:台灣世界展望會

取自：樊登讀書，微積分的力量

 

 

 

 

 

取自：樊登讀書，微積分的力量

 

 

感謝您能點開這本書，因為這本書的書名，有點拒人千里之外，叫作《微積分的力量》。我在選擇要講這本書的時候，我們團隊的人都覺得我瘋了，說怎麼可能有那麼多的人想知道微積分是怎麼回事呢？但是我覺得這是我們的責任。我們如果能讓中國人更多地瞭解什麼是微積分，更多地知道微積分對這個世界所產生的影響，我們的社會一定會變得不一樣。

 

 

 

我個人其實不是一個特別喜歡學微積分的人，我當年上學的時候也是硬著頭皮考過了試，考了80多分吧。但是我在讀完了這本書以後，我對我的行為表示後悔，如果我當年早點知道這本書里的內容，我一定會更愛數學，我一定會更希望把數學學好。所以這本書應該讓更多的年輕人讀到，大家才會知道數學是如此美妙。

 

 

 

我們現在所能見到的現代社會的種種方便，比如坐高鐵、坐飛機、打電話、用全球定位系統（GPS）出行、用網站……它背後有很多演算法，都是來自微積分的發明。沒有微積分，這些事情都無法實現。

 

 

 

你想想看，沒有微積分的數學是什麼數學呢？我們只能算勻速直線運動，勻速的我們可以算，變動的算不了了。這一個炮彈打出去，砰——到底打多遠？它的速度從出膛到落地是不一樣的。所以沒有微積分這樣的工具，你無法準確地知道位置在哪兒，你只能算平均數，看平均的速度大概是多少，瞬時速度是不知道的。

 

 

 

所以沒有微積分，這些東西都無法實現。包括我們現在抗癌、抗艾滋病所用到的醫學方法，全都是用數學的方式計算出來的。所以微積分被稱作是上帝的語言，如果你不瞭解微積分，根本讀不懂這個世界。

 

 

 

這本書的作者，是康奈爾大學的應用數學系教授。他特別擅長把數學寫得讓大家能看得懂，所以我今天也會在他的基礎之上再簡化，把公式的部分盡量減少，讓所有完全沒有聽過微積分的人能知道微積分有多麼了不起，並且知道微積分到底是什麼。

 

 

 

那麼什麼是微積分？微積分就是想讓復雜的問題變得簡單的一個方法。世界比我們想象得復雜得多，比如說這個杯子的形狀，不是一個簡單的形狀，它很復雜。如果我們只用簡單的平面幾何、立體幾何，是無法計算清楚的。但是微積分就有辦法讓它簡單化，這個過程就是微積分的總體思路。它的方法是什麼呢？就是把復雜的問題切分成多個簡單的部分，切分到什麼程度？到無窮的程度。

 

 

 

如果你腦子里邊能稍微加入一點點想象力，加入一個無窮的概念，就能立刻理解微積分是怎麼回事。我舉一個例子，您一定知道古人很想研究圓。因為古人的測量都是為了分地，那個地未必都是方的，有時候會有那種弧形的、圓形的，所以古人就想瞭解圓到底應該怎麼算。

 

 

 

周長大家比較容易瞭解，周長就是我做一個圓形的餅，我拿一根繩子繞著它這麼轉一圈，然後把這個繩子拿出來一量，就知道這個圓的周長了。所以基本上古人是可以測量得出一個圓的周長的。那怎麼測量這個圓的面積？不能用繩子去測量圓的面積，所以我們就必須得發現圓的面積公式。

 

 

 

大家學過周長的公式，叫作π×d。πd是怎麼算出來的呢？把周長測出來，然後把直徑測出來，用周長除以直徑，得到的數就是π，所以π就是圓周率。那你有沒有想過為什麼面積會是πr²，而不是πd²？這就是微積分的思想。你想象這是一個圓，我想知道它的面積，怎麼辦呢？你想象像切西瓜一樣，沿著它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然後你把它掰開，上半截就變成了一個向下的鋸齒，下半截就變成了一個向上的鋸齒。然後你把上半截和下半截對在一塊兒，成了一個什麼形狀呢？類似於一個長方形。

 

 

 

 

 

 

但是這個長方形的上邊不是一條直線，而是一個一個的弧度。那假如你把這個西瓜切到非常薄，薄到極限，那個弧度是不是就變成了一個一個的點？用弧度構成的這條邊，是不是就變成了一條趨近於直線的東西？

 

 

 

這時候你發現，圓如果可以被切到無窮塊，那它將會成為一個相當標準的矩形。請問這個矩形的高是多少呢？是半徑。那個長的一邊呢？是二分之一個周長，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr嗎？再乘以半徑，得出是πr²。現在大家知道πr²是怎麼來的了嗎？就是通過切分想象出來的。所以古人能通過切分到無窮的程度，想象出來這麼一個構造，解決了測量圓面積的問題，這就是微積分的思想。

 

 

 

雖然它還沒有用到牛頓和萊布尼茨發明的微積分的手段，但這就是微積分的思想。所以微積分的實質就是切分和重組，切分的過程叫微分，重組在一起叫積分。就這麼簡單，所以大家千萬不要覺得這是一件特別遙不可及的事。

 

 

 

因為古希臘人特別喜歡研究數學，結果到了公元前250年左右，大家都來研究這個東西。那個時候他們就已經有了微積分的思想，所以微積分不是一件很可怕的事，微積分最主要的應用就是解決三大謎題。

 

 

 

第一個叫曲線之謎，就是我們說圓形怎麼算？弧形怎麼算？拋物線怎麼算？那我現在出一道稍微難一點的題，就是一條拋物線這麼拋出去，你會不會算這個拋物線下邊的面積？我相信很多人都忘了。但是這在微積分中是最簡單的一道題。給你一個拋物線的公式，能算出拋物線底下的面積，這叫曲線之謎。

 

 

 

第二個叫運動之謎，世界上的勻速直線運動幾乎沒有，你不可能見到哪個人是一直保持勻速直線運動的，他一定會有加速和減速的過程。如果運動之謎解決不了，你的炮彈打得就不準，就無法準確地計算這個炮彈落下去在哪兒，所以這跟軍事是有關的。

 

 

 

第三個叫作變化之謎，就比如說你體內的細胞增長了、減少了，這個變化的速率是不均勻的，所以用簡單的加減乘除根本無法計算。我們過去經常非常狂妄地講“我學了太多數學都沒用”，因為到了社會上以後，我們用到的數學公式基本上沒有超過加減乘除，偶爾在買房的時候需要用到“平方”。我們會說“我從來不知道log是什麼，照樣過得很好”，我們太狂妄了。

 

 

 

如果這個世界上所有的人都不知道log是什麼的話，你肯定不會過得這麼好，因為那些需要解決的問題，我們根本解決不了。所以像這三大問題：曲線之謎、運動之謎和變化之謎，跟我們的生活息息相關。沒有微積分這樣的工具，我們都無從瞭解。

 

 

 

好了，接下來一步一步地深入微積分了。第一個概念就是無窮，無窮是一個特別有意思的東西，你要知道無窮的魅力和危險。比如說，咱們在《思想實驗》那本書里邊詳細地講過芝諾悖論。

 

 

 

芝諾說，阿喀琉斯永遠追不上烏龜。烏龜比阿喀琉斯先出發1米，然後讓阿喀琉斯去追烏龜，結論是阿喀琉斯永遠追不上烏龜。為什麼呢？他說在烏龜往前走一點的過程中，需要一個時間；阿喀琉斯追它也需要一個時間。當阿喀琉斯走到烏龜原來的位置，在相同時間內，烏龜也往前挪了一點點。

 

 

 

在下一個時間段，當阿喀琉斯又走到烏龜原來的位置，在相同時間內，烏龜又往前挪了一點點。所以結論出來了，阿喀琉斯永遠追不上烏龜。有道理嗎？這個命題我現在不挑戰大家了，因為人類自古到今天，無法解釋這個問題。最後有數學家解釋說，你不知道極限嗎？烏龜每次走得少一點，少一點，少一點，最後加在一起，不會超過1。

 

 

 

阿喀琉斯還論證說，你朝一面牆走，每次走1/2，永遠走不到那面牆跟前。為什麼呢？因為你要走到那兒去，必然走過中間的一半，你走過這個一半以後，必然得走過那個中間的一半，也就是1/4的地方。然後你得再走過1/8的地方、1/16的地方、1/32的地方……你永遠都得走過你和這個牆中間距離的一半的位置。

 

 

 

所以就算再小，你和牆之間都隔著一個微小的一半，所以你走不到那面牆跟前去。這種想法會把人類折磨瘋，因為大家覺得有道理，聽起來好像是走不過去，但現實中你一下子就走到那兒去了，原因是什麼呢？

 

 

 

這里邊有個極限的問題，極限是一個特別好玩的事。當你把那個圓的邊長想象成平的的時候，請問對嗎？我告訴你一定不對。因為它肯定不是平的，它是個極限，所以你要抵抗一種誘惑——把極限想象成是0的誘惑。那雖然是個很小的點，但絕不是0。如果它是0，導致的結果就是整個世界會混亂。

 

 

 

所以大家就理解了，為什麼從小學數學的時候，老師反復跟你強調一件事，說是古人規定的，0不能做分母。為什麼？2÷0等於幾？沒這樣的題。因為2÷0等於無窮，3÷0也等於無窮，10÷0也等於無窮，那結論是什麼？2=3=10，全等於，全世界都一樣，這很明顯是錯的。所以除數為0會召喚出無窮，這個無窮就會導致整個世界的邏輯混亂，就意味著這個杯子跟桌子是相等的，因為它們除以0都一樣。

 

 

 

各位知道，布魯諾是怎麼被燒死的嗎？當時布魯諾認為，上帝以其無窮的力量創造了不計其數的世界。這個論斷說出來了以後，他就被當作異端燒死了。所以我們說，古人不敢召喚出無窮，因為覺得無窮是一個很難駕馭的東西。

 

 

 

阿基米德還算出了拋物線弓形的面積。咱們現在會算拋物線下邊的面積，有公式就能算得出來。那如果在拋物線的頂上切一刀，這上面就形成了一個不規則的弓形，這個弓形的面積怎麼算？

 

 

 

 

 

 

那時候也沒有微積分的工具，所以他的辦法是在這個弓形內畫一個三角形，但是兩邊多出兩個耳朵，這兩個耳朵怎麼辦呢？再畫兩個三角形，這不就又接近一點了嗎？把面積又摳小了一點，又多出四個小耳朵，再畫四個三角形，然後把這個三角形無窮無盡地畫下去，最後一直畫到什麼程度呢？畫到無窮小的程度，把那個極小值忽略掉，得到的幾乎就是那個弓形的面積了。因為無法用無窮來算，所以這個叫作忽略極小值。這就是阿基米德當年所用的研究弓形面積的方法。

 

 

 

 

 

 

大家千萬不要覺得這個方法過時，直到今天三維建模還是採用這個方法，比如說《怪物史萊克》全部都是用三角形來建模的。也就是說其中的人物有多清晰，取決於他們用的那個小三角形有多小，當那個三角形小到足夠小的時候，就和一條完美的弧線是一樣的。所以直到今天，阿基米德所用的這個方法，我們的計算機和數學建模依然在用，只不過計算機增加了它運算的能力，多了不起！

 

 

 

我們過去一直以為，微積分是17世紀的人的發明，是牛頓、萊布尼茨他們的發明，直到1998年10月，阿基米德的手稿重見天日。有人在一個拍賣會上看到了那個手稿，就是他當年在算這些東西時的想法。所以他是真正的微積分思想的奠基人，他那時候已經用到了微積分的想法。

 

 

 

你們知道阿基米德是怎麼死的嗎？羅馬人攻進了希臘，當時阿基米德還在他的房間裡面做演算。羅馬人的將軍告訴士兵說，阿基米德一定要留著，因為他是個偉人，所以千萬不要打擾他。結果有一隊士兵踹開他的門，進到他房間的時候，一腳踩壞了他演算的稿紙，然後阿基米德說：“出去！你們打擾到我計算了。”於是那個人一刀就把他捅死了。

 

 

 

阿基米德在死之前說：“在現在和未來的幾個世紀中，某些人會利用這種方法，找到我們尚未掌握的其他定理。” 你知道這句話是寫給誰的嗎？後來揭開這個謎題的就是牛頓，就是牛頓用了微積分的思想徹底揭開了宇宙的奧秘。

 

 

 

“這位無與倫比的天才在數學的無限性面前感到了自己生命的有限性。他認識到還有很多事情要做，也就是找到我們尚未掌握的其他定理。所有數學家都有這樣的感覺，我們的研究課題永無止境，就連阿基米德本人也要俯首稱臣。”

 

 

 

現在大家對無窮有概念了，無窮是瞭解微積分的第一步。你得能夠想象出一個無窮小，但它不是0，然後去模擬接下來的運動。運動之謎的奠基人是伽利略。伽利略認為宇宙是一部偉大的著作，而這部著作是用數學的語言寫成的。就是說你如果不懂數學，你無法讀懂這個宇宙。咱們在《機械宇宙》那本書里邊詳細地講過伽利略發現運動之謎的過程，大家有機會去聽一下《機械宇宙》就知道了。

 

 

 

伽利略還去看鐘擺的擺動。他發現無論鐘擺的擺幅多少，所用時間都是一樣的。伽利略是怎麼發現的呢？那時候沒有手錶，伽利略是摸著脈搏做的實驗，沒有伽利略的研究，後面就不可能有手錶。包括全球定位系統的原型、我們今天用到的原子鐘，也是通過這些東西來的。

 

 

 

我給大家念一下這個原子鐘是怎麼回事，你就會知道道理其實都一樣。

 

 

 

“原子鐘是伽利略擺鐘的現代版本，盡管它和擺鐘一樣，也是通過計數振動次數來計時，但它追蹤的並不是擺錘的來回擺動，而是計數銫原子在其兩種能態間來回轉換時的振動次數，這種能態轉換每秒鐘要進行9,192,631,770（約91億）次。雖然原子鐘和擺鐘的運行機制不同，但原理是一樣的，即重復性的往復運動可以用來計時。

 

 

 

“反過來，時間也可以確定你的位置。GPS（全球定位系統）的24顆衛星在12000英里的高空繞軌運行，當你使用汽車上的GPS導航儀時，你的設備至少會從其中的4顆衛星那裡接收無線信號。每顆衛星都搭載著4台原子鐘，它們的時間精密度均可以達到納秒（十億分之一秒）級。你的接收器會收到多個可見衛星發出的一連串信號，其中每個信號的時間戳都可以精確到納秒。這正是需要用到原子鐘的地方，它們驚人的時間精密度被轉化成我們期望GPS具有的空間精密度。”

 

 

 

然後再用三角函數測量出你的位置。所以大家就會很奇怪說，這手機怎麼知道我在哪兒呢？手機怎麼知道我在橋上橋下？現在都這麼精確，因為它是納秒級別的時間記錄，用時間記錄就可以知道你和衛星之間的距離，這個系統的幾乎所有功能都取決於微積分。

 

 

 

“想想衛星和接收器之間的無線通信，通過麥克斯韋所做的研究，微積分預言了電磁波的存在，從而使無線通信成為可能。所以沒有微積分，就不會有無線通信和GPS。同樣地，GPS衛星上的原子鐘利用的是銫原子的量子力學振動，而微積分是量子力學方程及其求解方法的基礎，所以沒有微積分就不會有原子鐘。”

 

 

 

伽利略通過鐘擺實驗幫我們揭示了時間和運動之間的關系，除此之外，那時候他們都想解決的一個問題就是經度測試的問題。你知道航海的時候，緯度容易發現，只要你看太陽的位置，你就知道自己在什麼緯度上；但經度很難發現，經度無法測算，所以會出現很多觸礁、跑偏的情況，甚至出現事故。所以當時荷蘭、英國這些航海大國就發起懸賞，誰能夠解決經度測試的問題，就給誰巨額的獎金。

 

 

 

一直到18世紀中期，英國一個叫哈里森的人，才用伽利略的原理解決了經度測量的問題。當時的獎金多少錢你知道嗎？2萬英鎊，極高額的一個獎勵，因為他幫航海解決了幾乎所有的安全問題。既能測量經度，又能夠測量緯度，人們就知道船在什麼地方了。

 

 

 

那接下來，另外一位研究運動的高手就是開普勒。過去亞里士多德認為，所有的行星都在正圓軌道上運行。因為正圓是美好的，天上的東西肯定都是美好的，所以運行軌道就是正圓軌道。但是開普勒說，行星是在橢圓軌道上運行的。在橢圓軌道上運行，就意味著它有變速運動。

 

 

 

這些無法徹底通過計算來解決，原因就是當時的人掌握的數學工具不夠，需要等到牛頓出現。因為橢圓的運動是完全變動的，形狀是變動的、速度是變動的，我們過去的數學工具無法解決這個問題，所以就要等到微積分的真正誕生才行。

 

 

 

有一個有意思的事是，伽利略和開普勒之間經常互相通信，他們倆是朋友。大家都不明白，為什麼17世紀會是人類的一個分界線，人們從17世紀開始走入科學，17世紀以前都是宗教。原因就是17世紀有了郵政系統，郵政系統使得像伽利略、開普勒和牛頓這些人可以互相寫信來矯正自己的思想，所以才會有了同行的評議、有了共識，後來會誕生了英國皇家學會。所以人類世界的種種變化背後，都有它的技術原因。

 

 

 

人類是先有積分思想，後有微分思想，為什麼呢？因為積分是誕生在幾何之上，微分是誕生在代數之上的，代數比幾何要晚。我們今天學習微積分的時候，是先學微分，再學積分。因為微分簡單，就是求導；積分要反過來，積分更難，但是積分的思想更早出現。代數加幾何，就等於我們說的解析幾何，就是笛卡爾他們搞的那個東西。

 

 

 

所以我們今天研究曲線底下的面積或研究曲線的變化率，實際上都是方程。而這個方程可以代表我們生活當中的方方面面，無論它是飛機、病毒，還是建築物，都可以用這個坐標系來實現。

 

 

 

那麼我們說，開普勒跟伽利略算一對搭檔，他們倆一塊兒出現；另外一對搭檔就是費馬和笛卡爾。費馬和笛卡爾兩個人競爭得很激烈，笛卡爾比費馬大幾歲，而且笛卡爾的地位很高，他覺得費馬就是個窮小子。但是在他們一生的競爭當中，幾乎永遠都是費馬贏。費馬能夠很輕松地解決很多笛卡爾解決不了的問題，而且費馬提出的很多想法都比笛卡爾更早。他不用求導數的方法，就能夠找出最大值。

 

 

 

我們在這兒念一段關於費馬的貢獻：

 

 

 

“費馬為現代形式的微積分鋪平了道路，他的最短時間原理揭示出最優化深深地嵌在大自然的結構之中。”大自然是追求最優化的，因為它的進化就是朝著最優的方向去的。

 

 

 

“他在解析幾何和切線方面的研究開闢了一條通往微分學之路，其他人將沿著這條路繼續前進。他高超的代數技巧讓他能夠求出某些曲線下方的面積。”他求曲線下方面積的方法是把這條曲線用一根一根的梁支起來。你想象有很多根小的矩形，然後把這個小的矩形的面積算出來，加在一起，不就是等於這個曲線的面積了嗎？

 

 

 

“費馬的研究成果使積分學向前邁進了一大步，並為接下來的突破奠定了基礎。”

 

 

 

“盡管如此，他的成果仍然比不上牛頓和萊布尼茨即將發現的那個秘密，後者徹底改變並統一了微積分的兩個部分。費馬已經很接近這個秘密了，但遺憾的是，他錯過了它。缺少的一環與他創造的某個東西有關，這個東西就隱含在他求最大值和切線的方法中，但他從未意識到它的重要性。它後來被人們稱為導數，它的應用將遠遠超出曲線及其切線的範疇，能夠涵蓋任何種類的變化。”

 

 

 

我知道很多沒有學過數學的人聽到“導數”這個詞的時候，就已經開始有點反胃了。導數是什麼呢？比如說這兒有一條曲線，曲線上有一條切線，這個切線的斜率就是切點的導數，切線的斜率表示的是變化率。那你想想看，變化率多麼重要！

 

 

 

我們在生活當中總得知道，一個東西多快？多陡？多敏感？凡是你問這樣的問題的時候，其實問的都是變化率。變化率怎麼算出來呢？唯一的辦法就是求導。你能夠在每一個點上求出導數，你就知道這個點的變化率。

 

 

 

等牛頓和萊布尼茨登場以後，微積分的三大核心問題，第一個叫正向問題，即已知一條曲線，求它各處切線的斜率，也就是變化率，相信大家都做過這樣的題；第二個叫反向問題，已知一條曲線的各處斜率，求這條曲線的方程；第三個就是面積問題，已知一條曲線，求曲線下方的面積。

 

 

 

微積分說到底就這三件事，就是知道切線，求方程；知道方程，求切線；知道方程，求面積。我們上學的時候把它當作考試來對待，不知道它的意義，但實際上這個可以應用在醫學、建築、火箭發動機等各個方面。因為只要是變動的運算，都可以用方程和圖形來表示，這就是微積分的力量所在，這三大核心問題涉及物理、工程、金融、醫學等等。

 

 

 

人的大腦比較善於理解線性問題，線性的東西我們都比較容易理解，但是非線性的東西很不容易理解，我們的辦法只有什麼呢？放大曲線中的圖像。比如說這兒有條曲線，曲線的變化率不知道是多少，怎麼辦呢？我就把它放大，把這個曲線放到足夠大，用顯微鏡去看這一小段。

 

 

 

請問，再彎曲的曲線在這一小段上拿顯微鏡去看，是不是都像是一條直線？這就是微積分的方法。然後發現那個看起來很奇怪的曲里拐彎的曲線，在這個點上就是一條斜線，是直的。 這時候我們就容易理解了，所以這就是求導數。這些東西是牛頓、萊布尼茨他們這些人幫我們解決了。所以可以怎麼理解呢？牛頓和萊布尼茨幫我們馴化了數學，馴化了這頭難以掌控的野獸。

 

 

 

我爸年輕的時候做過一件很了不起的事。我爸是一個數學老師，被下放到農村去鍛煉，農村有一個從蘇聯進口的機器，那個機器底下有一個弧形的刀片。那個刀片捲在土地裡面不就可以翻土嗎？結果蘇聯對我們製裁，我們就無法買那個零部件了，就得自己生產那個犁頭。但是犁頭的形狀是彎曲的，不知道怎麼生產那個高科技的犁頭，因為不知道那個曲面方程怎麼弄，所有人都一籌莫展。

 

 

 

然後我爸就把那個東西拿出來，量了一下，把那個方程給算出來了。算出來了以後，就能生產那個刀片了。這就是我們說的知道切線能求方程的應用，之後我爸還順便寫了篇論文發表在數學雜志上。

 

 

 

所以大家知道，微積分離我們其實並不遠，就是解決我們生活中問題的東西，包括我們晝夜的變化速率、物種的平衡等等。比如說，這草原上狼多好還是羊多好？假如你說狼很壞，把狼都打死吧。狼都打死，羊多了，草就沒了，草沒了，人也受影響；那你說多養狼，狼太多，把羊吃沒了，狼就餓死了，狼要吃人怎麼辦呢？所以物種平衡怎麼把握？你看是不是不同的變化率？只要牽扯不同的變化率，就需要通過微積分來計算。

 

 

 

好了，終於到牛頓和萊布尼茨了。牛頓和萊布尼茨是徹底揭開了這個秘密的人，他們把之前的微積分思想徹底變成了微積分工具。

 

 

 

“在牛頓和萊布尼茨創立微積分之後，情況發生了變化。他們各自發現並證明瞭一個基本定理，它能使這類問題常規化。該定理將面積與斜率聯系起來，進而將積分與導數聯系在一起。這個基本定理的影響力驚人，幾乎一夜之間面積問題就變得容易解決了。”

 

 

 

牛頓說：“並非所有方程都可以用曲線來表示，但我能在不到半刻鐘的時間內，判斷出它是否可以求積。”

 

 

 

“牛頓的隱秘源泉就是微積分基本定理。盡管他和萊布尼茨都不是最早註意到這個定理的人。”但他們創立的方法，現在已經普及開來。微積分這頭怪獸被拔除了尖牙，變成了青少年的家庭作業。所以我就想跟孩子們講，你今天學高等數學、學微積分，覺得很頭疼。假如你能把它當作一頭被拔掉了尖牙的怪獸來對待，你不覺得自己無上光榮嗎？你的先輩幫你解決了這個問題，讓你能夠很愉快地計算這個奇怪的圖形的面積，這是一件多麼光榮的事情！

 

 

 

我們千萬不要荒廢了，不要到了我這個年紀才覺得微積分很重要。學習微積分的學生，一直浸淫在基本定理當中，所以我們將它視為理所當然。我們今天不會感謝牛頓和萊布尼茨，只會覺得他們給我們增加了家庭作業，我們覺得理所當然，但這個過程是非常艱難的過程，沒有他們這樣的洞察和發現，我們今天根本不會求積分。

 

 

 

那你知道如果曲線求積的問題得到瞭解決，會怎樣嗎？

 

 

 

“它將引起一個連鎖反應，就像被推倒的多米諾骨牌一樣，一個接一個問題都會迎刃而解。而且我們可以用它來回答笛卡爾眼中那個超出人類理解範圍的問題，即算出任意曲線的弧長。有了它，人們就可能算出平面上任何一個不規則形狀的面積，還可以計算球面、拋物面、瓮、桶以及其他繞過軸旋轉曲線所得到的曲面的錶面積、體積、重心。

 

 

 

“不僅如此，某些預測問題將得到解決。只要解決了曲線求積問題，我們就可以預測出運動物體在遙遠未來的位置。比如，即使一顆行星受到的引力與我們宇宙中的引力不同，我們也能預測出某一時刻它在軌道上的位置。我之所以稱曲線求積問題為積分學的聖杯，是因為許許多多的其他問題都可歸結為這個問題。如果它被解決了，其他問題也會得到解決。

 

 

 

“這就是算出任意曲線下方面積如此重要的原因……從現代的角度看，面積問題旨在預測以不斷變化的速率變化的事物和與它隨時間的累積程度之間的關系。它與銀行賬戶的波動性流入和累計餘額有關；它與世界人口的增長率和地球上的凈人口數有關；它與化療藥物在患者血液中不斷變化的濃度和隨時間的累積暴露劑量有關，因為總暴露量會影響化療藥物的效果和毒性。”

 

 

 

面積問題之所以重要，因為它跟我們生活的方方面面都有聯系。大家知道斜率是變化速率問題，面積是累積效果問題，就是用這樣的速度做了這麼長的時間，最後到底做了多少呢？這就是面積問題。所以在生活當中，我們不但要知道變化速率問題，也要知道累積效果問題。變化速率是微分，整個面積是積分，這就是微積分。

 

 

 

我給大家講一個很感人的例子。在過去，艾滋病是一個不治之症。所以大家覺得艾滋病會把地球上人口都消滅掉，因為艾滋病的潛伏期是十年。在這十年時間里，這個人看起來一點問題都沒有，所以他就可以正常地生活和交往。各位你想想看，十年期間他帶著病毒到處跟人交往，沒有任何問題，但時間一過很快就死，死亡率極高。

 

 

 

所以大家當時很恐慌，覺得艾滋病會讓人類滅亡，但是艾滋病並沒有這樣，原因是什麼呢？就是因為有一個華裔的醫學家何大一，他和數學家艾倫·佩雷爾森用微積分解決了艾滋病病毒的問題。他們發現在這十年的病毒期間，以前的治療方法就是沒辦法，這十年反正是潛伏期，也沒什麼症狀，就別治了，等到發作再說吧。所以一發作，人就死了。

 

 

 

於是何大一和他的搭檔，就在人體當中截取了一個微小時間段中的病毒變化數，然後去計算病毒漲落的方程。最後發現這十年時間里，病毒並不是沒有發作，而是天天發作，但是你的白細胞和自然殺傷細胞每天都在和病毒作戰。你的白細胞的大量工作，使得病毒在你體內的數量達到了均衡，看起來是不動的，但實際上每天有大量的病毒死去，有大量病毒產生，然後你的白細胞和自然殺傷細胞有大量的損耗，所以當你用數學定義了這件事以後，你就可以給他配藥，然後就發明瞭雞尾酒療法。

 

 

 

雞尾酒療法是什麼呢？通俗點講，就是在這十年時間里，給你的白細胞幫忙，讓你的白細胞能夠更厲害一點。所以現在艾滋病已經變成了一個慢性病，基本上它不會像過去那樣，得了就死了。只要你長期吃藥，就能夠一直活下去，這是多麼了不起的發現！而這個發現的背後，就是大量的我們大家看起來很頭疼的數學公式。1996年，何大一博士被評選為《時代》周刊的年度風雲人物，厲害嗎？這就是微積分的力量。

 

 

 

牛頓寫了《自然哲學的數學原理》，揭示了力學的世界，然後用三重積分的方法幫我們解決了二體問題。地球跟月亮、兩個星星互相吸引，這叫作二體問題。二體問題其實很難計算，因為它在變動當中，牛頓用三重積分的方法解決了，所以我們能夠預測月亮的軌道。但是三體問題無法解決，牛頓到死都沒有解決三體問題，現在的科學家可能也很難算出來，三體問題始終是一個很難的問題，所以那本小說叫《三體》，就是從這兒來的。

 

 

 

再給大家講一個案例，一個美國的女性黑人科學家凱瑟琳·約翰遜，曾經被拍成過一部電影，叫《隱藏人物》。

 

 

 

“1962年2月20日，約翰·格倫上校完成了繞地球飛行三周的任務後，在約翰遜精確計算的指導下重返大氣層，並且安全地降落在北大西洋，他是美國的英雄，後來當選了參議員。但很少有人知道，在格倫創造歷史的那一天，直到凱瑟琳·約翰遜本人檢查了所有攸關生死的計算後，他才同意執行這次飛行任務。換而言之，格倫把自己的生命托付給了約翰遜這個數學家。”

 

 

 

為什麼呢？你想一個人從太空軌道上要回歸地球，地球上的地貌有多麼復雜，有山、有海、有風、有各式各樣的這種地貌，你降落的位置只要稍微偏一點點，沒有降落到他們指定的大西洋的那個位置上，這人就死了。

 

 

 

那這個計算怎麼完成呢？假如我們只學一個πr2這樣的方式，根本完成不了。1962年沒有那麼發達的計算機，這個黑人女科學家就用粉筆在黑板上手算大量的公式，算各種各樣的形狀，算地球上的每一個位置，確定他最後會落在大西洋上的那個位置，然後這個英雄才願意執行這個飛行任務。

 

 

 

最後格倫成為英雄，當了參議員，但是約翰遜一直默默無聞，她是一個隱藏的人物，她在背後，大家不知道這個數學家所做的貢獻。一直到2015年，97歲高齡的她獲得了奧巴馬總統頒發的總統自由勛章。一年以後，美國國家航空航天局（NASA）以她的名字命名了一座大樓，大家認可了這位數學家的貢獻。

 

 

 

作者甚至說，連《獨立宣言》都是在微積分的影響之下寫出來的。大家會覺得很奇怪，《獨立宣言》是個政治的東西、文字的東西，怎麼會跟微積分有關呢？你要知道《獨立宣言》的起草者傑斐遜是美國的第三任總統，傑斐遜本人是一個建築師、發明家和農場主，同時也是第三任總統和《獨立宣言》的起草者。

 

 

 

除此之外，他還是牛頓的信徒，所以《獨立宣言》開篇所寫的話就跟牛頓在《自然哲學的數學原理》那本書中所寫的一模一樣，叫作“我們認為有些真理不證自明”。也就是說從公理著手，然後憑著邏輯的力量，他從這些公理中推導出一系列難以迴避的問題，這就是《獨立宣言》的起草思路。而這個思路來自哪兒呢？來自牛頓寫的《自然哲學的數學原理》。

 

 

 

我們上中學的時候學幾何，是不是上來就先跟大家講公理？說有些公理不證自明。比如說兩條平行線不會相交，這是公理；三角形兩邊之和大於第三邊，這是公理；兩點之間直線最短，這是公理。

 

 

 

我們那時候不明白為什麼要有公理？公理就是要搭建的一個聖殿底下的基礎，沿著這幾個基礎，全部都是公理和公理之間的應用和引用，從而證明出定理，然後這個定理如果得到認可，它就可以像公理一樣被使用，然後再去證明下一個定理。人類就是這樣一步一步地往前推進的，這就是科學的思想。所以連《獨立宣言》都是來自微積分的影響。

 

 

 

我們剛剛講的所有的東西，你聽起來已經很復雜了，但它只是常微分方程。常微分方程就是只有一個變量的方程，但是我們在生活當中，其實面臨的是更多個變量。比如說飛機的機翼一展開，在天上這樣抖。飛機的機翼是多麼復雜的形狀，它不是圓形、不是圓柱、不是圓錐，它全是弧線和曲面。天上的風的力量極大，如果你不能夠很好地計算這個翅膀所承受的每一個點的力量，你怎麼知道它飛著飛著不會掉了呢？

 

 

 

因為我經常飛嘛，我就經常問那些飛行員，飛機整天在這兒飛，靠不靠譜啊？飛行員說各種事故他們都見過，沒見過晃散了的。因為咱們最擔心的就是晃，咱們在飛機上上下左右這麼晃，就覺得要嚇死了。那天我坐飛機，我旁邊一個陌生的女士，在晃的時候直接過來抓我的手，你知道嗎？她嚇壞了，晃得太厲害了。我們覺得晃是很危險的一件事，飛行員告訴我說，他們乾了一輩子，沒見過哪個飛機是晃散架的，所以你就想想看，這個飛機有多結實！

 

 

 

但你想想那個翅膀那麼薄，天空中那麼大的風，怎麼能夠確定它是安全的呢？

 

 

 

“其中涉及的數學計算可能難度極大，部分原因在於飛機的幾何結構十分復雜。飛機不像球體、風箏或者輕木滑翔機，它的形狀復雜得多，包含機翼、機身、發動機、尾翼、襟翼和起落裝置，這些組成部分都能使高速掠過飛機的氣流發生偏轉。而且，高速氣流一旦發生偏轉，就會對使它偏轉的物體施加一個力。”你把手伸到車窗外邊去，有沒有感受到很大的力在推你的手？這個就是你使得那個風發生偏轉了，一偏轉，力量就來了。所以你那個發動機上的大疙瘩，遇到了風吹，它就抖，因為它大，影響了風的方向。

 

 

 

“偏微分方程在這個過程當中發揮了諸多方面的作用。比如，除了計算升力和阻力之外，波音公司的應用數學家還用微積分預測了飛機以600英里的時速飛行時機翼會如何彎曲。當機翼受到升力時，升力會導致機翼向上彎曲和扭曲，工程師試圖避免的一種現象是被稱為氣動彈性顫振的危險效應，它類似於微風吹過百葉窗簾時發生的顫振。”你看風吹百葉窗是什麼反應？它是上下抖動。

 

 

 

“在最好的情況下，機翼的這種不受歡迎的振動會造成旅途的顛簸和不適。而在最壞的情況下，這種振動會形成一個正反饋迴路：當機翼震顫時，它們會改變周圍的氣流，並使自身震顫得更厲害。眾所周知，氣動彈性顫振會損壞實驗飛機的機翼，導致結構失效和墜毀。”它抖得太厲害了以後，力量不斷地正向反饋，變得越來越大，機翼可能會斷掉。

 

 

 

所以，“波音公司的數學家將機翼近似分解為幾十萬個微型立方體、棱柱體和四面體，這些較為簡單的形狀扮演著基本結構單元的角色。就像在面部手術的建模階段一樣，他們先要為每個構建單元的剛度和彈性賦值，然後這些構建單元會受到臨近構建單元施加的推力和拉力。彈性理論的偏微分方程可以預測出每個構建單元會對這些力做出怎樣的反應，最終在超級計算機的幫助下，所有這些反應會被組合起來，用於預測機翼的總體振動情況”。

 

 

 

天哪，也就是說他不能把機翼當作一個整板，他要把機翼切成一個一個的小形狀，這些小形狀之間還要互相傳導力量，最後才能夠算出來機翼的安全承受力。所以你坐飛機的時候，不同的飛機顛簸程度是不一樣的。千萬別把顛簸程度簡單地當作是今天運氣不好，遇上風了。不是，你坐糟糕的飛機就會顛得厲害，你坐新的、大的、好的飛機，就會顛得輕，因為它的計算能力更強了。這就是我們的生活所受益的地方，所以我相信講到這兒，大家基本上能夠理解為什麼我們要讓孩子學微積分，為什麼我們需要好好學微積分。

 

 

 

有的孩子有一個巨集大的目標，說想成為科學家，那你得學微積分。有的說我想成為生物學家，看起來不要數學對嗎？要好好學微積分，沒有微積分，你根本不可能成為生物學家。有的說我想成為經濟學家，去學微積分。有的說想成為投資人、銀行家，去學微積分。你做任何東西，想做到高手，都得懂數學，否則你是在錶面上停留的。

 

 

 

包括我們用的微波爐，完全是用微積分發明出來的。當年一個研究武器的公司發現了用在武器上的磁控管，但是不知道民用該怎麼用。後來有一個實驗人員在用磁控管做實驗的時候，突然發現自己口袋裡的花生巧克力化掉了，原因是磁控管產生的波會使得巧克力內部發生振動，從而加熱。

 

 

 

而且你可以用微波爐來測量光速，這個我相信很多人不明白，微波爐怎麼測量光速？其實這事可以做實驗的，當然，還是安全第一。你把微波爐里邊的轉盤拿出來，然後放一塊乳酪在盤子里，放進微波爐加熱。加熱三十秒以後，把盤子取出來。這時候你會看到乳酪有的地方已經熔化了，有的地方還沒熔化，它先熔化的地方是哪兒呢？先熔化的地方就是熱點。這個熱點對應著微波爐微波模式的腹點，也就是振動最劇烈的地方，它類似於正弦波的波峰和波谷。

 

 

 

對於一臺運行頻率為2.45千兆赫的標準微波爐，你會發現兩個相鄰熔點之間的距離大約是6釐米，這是從波峰到波谷的距離，也就是半波長。那麼實際上它的波長就是12釐米。順便說一下，怎麼用它計算光速呢？將微波爐的振動頻率乘以你在實驗中測得的這個波長，就能夠得出光速，或者非常接近光速的結果，就那麼好玩。

 

 

 

而微波爐的原理就來自傅里葉，傅里葉就是發現了用正弦波來解決這些問題的人。他把這些東西都簡化為正弦波，後來發現正弦波真的很好用，包括我們今天做電腦斷層掃描（CT）、核磁共振掃描（MRI）、我們用的電子琴、語音合成器，全部都是用正弦波的原理，它們的奠基人都是傅里葉。沒有他就沒有我們今天所用的這些跟波有關的東西。未來微積分將用來做什麼呢？微積分會用來計算DNA的纏繞數、計算非線性問題、計算混沌問題、計算復雜系統和高維詛咒的問題，就是高維幾何，黎曼幾何就是搞這個的。

 

 

 

包括計算機、人工智慧以及洞察力的問題，其實未來都是用更高級的數學工具來解決，因為數學工具也在進化。黎曼幾何就是數學工具的進化，用高級的代數、高級的微積分，去解決更加復雜的問題。

 

 

 

最後在本書結束的時候，讓我們回到愛因斯坦，因為愛因斯坦畢竟是人類歷史上最偉大的科學家。2017年的諾貝爾物理學獎獲得者是引力波的探測者。引力波是什麼呢？引力波是廣義相對論預測到的又一個驚人的效應。

 

 

 

“這個理論指出，一對互相纏繞的黑洞會在它們周圍的時空中形成漩渦，並有節奏地拉伸和擠壓時空，由此產生的時空擾動會像漣漪一樣以光速向外擴散。愛因斯坦曾經懷疑我們不可能測量到這種波，並擔心它可能只是一種數學錯覺。”數學錯覺就是數學上說得通，但是實際上看不到。

 

 

 

2017年諾貝爾物理學獎的獲得者的關鍵成就在於，他們設計並製造出了有史以來最靈敏的探測器。

 

 

 

“2015年9月14日，他們的裝置探測到一個時空震顫，僅相當於質子直徑的千分之一。作為對照，這就好比將地球與太陽的距離微調了相當於人的一根頭發直徑的長度。”就這麼小的一個震顫，在2015年被人類的儀器捕捉到了。

 

 

 

本書的作者寫書最美好的地方就在於，他雖然寫數學，但他有著非常強烈的人文情懷和詩一樣的語言。他發出感慨說：

 

 

 

“作為漂浮在一個中量級星系中的一顆微不足道的行星上的一個無足輕重的物種，智人是如何成功預測出，在距離地球十億光年之遙的浩瀚宇宙中的兩個黑洞相撞後，時空會發生怎樣的震顫呢？我們早在引力波到達地球之前就知道它的聲音應該是什麼樣子了。而且，多虧有微積分、計算機和愛因斯坦，我們的預測是正確的。

 

 

 

“引力波是人類有史以來聽過的最微弱的耳語。在我們成為靈長類動物之前，在我們成為哺乳動物之前，甚至在我們還是微生物的時候，這種輕柔而微小的波就已經開始朝我們漾來。當它在2015年的那一天抵達地球的時候，因為我們正在傾聽，也因為我們通曉微積分，所以我們才能聽懂這輕柔的耳語意味著什麼。”

 

 

 

我的天哪，還有比這更崇高而美好的事情嗎？所以我要再次感謝你有耐心聽我講完這本書。從一開始的勇氣到最後能夠聽完，我相信你對微積分會有一個完全不同的感受。就像我讀完了這本書一樣，我們不再排斥它，我們不再憎恨它，我們不再把它當作一個唯恐避之不及的東西。

 

 

 

如果你不懂，也請你想盡量地瞭解它、尊重它，而不是說“我根本不感興趣”，因為這是我們人類賴以生存的有別於其他動物的最重要的工具之一。所以希望大家有機會能夠讀一下《微積分的力量》這本書，謝謝大家，我們下周再見。