好奇心是知識的缺口【173】
萬物皆數
從世界各地的歷史，會讓你理解數學和生活的關係與發展
作者叫做米卡埃爾‧洛奈，概率學博士，他在網路平台策劃的數學節目擁有30萬訂閱，頻道節目觀看量近2000萬。
「這個世界最難以理解的地方，就是它居然可以被人理解。」
愛因斯坦說。
這就是數學的價值。
數學公式是很多人求學時的惡夢，但生活中很多事情都是建立在數學的基礎上，不斷的發展。這裡沒要你計算數學公式，給你瞭解數學的歷史，這使得數學變得親切宜人。
啄木鳥舌頭到底是什麼形狀？
達文西臨死前，還好奇的在筆記中寫到：「一定要知道啄木鳥舌頭到底是什麼形狀，有什麼秘密。不然它那麼拼命的啄木頭，一定會影響腦部，產生腦震盪。」
【156】李奧納多‧達文西傳
打開好奇心有什麼好處呢?
好處會讓我們人類開發潛能。達文西憑藉著無窮的「好奇心」，在10個以上的領域都達到專家的造詣。
我們也打開「好奇心」，來瞭解數學的歷史吧!
大綱
前言
美索不達米亞
古希臘
阿拉伯帝國
歐洲
未來的數學
前言
各位歡迎光臨我們的樊登書店，今天我們要講一本數學書，我知道很多人對數學不太感冒，覺得我從小就不會學數學。
但是你相信我，你聽完這本書之後，或者你帶著你的孩子聽完了這本書之後，我保證他一定會愛上數學，因為我就是這樣。
大家可以看一下我手上的松塔，你注意觀察松塔的這一面的話，你會發現，這個松塔會有正向的螺旋和反向的螺旋。正向的螺旋數有多少個，反向的螺旋數有多少個。
你說這個數字有什麼好看的？你會發現這個松塔的螺旋數，要麼是5，反面是8；要麼正面8，反面13；要麼13，反面是21。
就不會出現8、11，或者是9、6這樣的組合，為什麼？因為所有松塔的正向螺旋和反向螺旋的數字，一定符合斐波那契數列。
什麼叫斐波那契數列？就是斐波那契這個數學家，他就發現，一對兔子還不會生育的時候，它們倆始終是1對，所以第1個月它們倆是1對。
然後等到第2個月的時候，它們倆還不會生育，所以還是一對。等到第3個月的時候，它們倆生了1對兔子，所以就變成2對了。等到第4個月的時候，這對兔子又生了1對兔子，而那對小的兔子還不會生育，它們就變成了3對。
然後再往後 下1個月的時候，那對小的兔子也過了2個月了，也可以生育了。所以它們那個數列一定是：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55。
兔子的繁殖能力是非常強的，每個月都能夠生一窩，所以用生育的數字排列下去，就形成了一個關於生殖的數列。所以我為什麼對這個案例情有獨鐘？
就你會覺得在自然界當中，我們看著非常自然，非常普通，沒有規律的東西，在數學家看來，可能它就暗暗地符合著某一些非常奇妙而又簡單的規律，這就是數學的魅力。
所以愛因斯坦曾經說過一句我覺得特別有哲理的話，他說這個世界最難以理解的地方，就是它居然可以被人理解。
你看這話說得多棒，就是你會覺得f=ma這麼一個公式，就能夠概括出來我們的身體的質量，和（加）速度、力之間的關系嗎？
你會覺得牛頓的萬有引力的公式，就能夠算準一個多重的東西和另外一個東西之間，會產生多大的吸引力，然後我們為什麼會站在這個地球上？
更可怕的是E=mc²，就是愛因斯坦發現了這麼簡潔美好的一個公式，就讓我們知道了質量和能量之間轉換的這種規律。
所以這個世界很有可能，是有著它天然的數學的原理的。如果一個人不懂數學，就像柏拉圖那時候，在教哲學的時候，他會在門上寫一個標語，叫作“不懂幾何者嚴禁入內”。
就是你沒有資格探索這個世界，這個宇宙的奧秘。
所以今天我們就來講《萬物皆數》這本書，讓大家理解數學和我們的生活有著什麼樣的關係，數學到底是怎麼發展起來的。
美索不達米亞
萬物皆數這句話是誰說的？是非常著名的——我們在《生活的哲學》那本書里，介紹過的一個人叫畢達哥拉斯。
他說：“萬物皆數”。那麼首先我們要解決的就是數學的第一個里程碑。要說到人類關於數學的第一個里程碑，那就是數字是怎麼從被計量的物體當中解放出來的？
我們今天看各種各樣的東西，你會覺得有數字很正常，從0到9 這麼發明出來，然後重新組合就行了。
十進制，誰腦子里沒有這個概念？但是你想想看我們的先人怎麼會有十進制的概念？我們的先人怎麼會畫出那麼奇怪的符號來代表數字這樣的概念？
最早人們有數字的概念，是美索不達米亞平原上的那些蘇美爾人。這些人要放羊，然後羊多了以後就要貿易，這時候你發現，這個羊出去了多少只，回來了多少只，不知道。
然後有的人還會偷羊，拉出去一大堆羊，當然沒有數字的概念，少了一半回來，你也沒法說，因為不知道。
後來為了讓這個事變得可靠，他們想了一個特別呆萌的好辦法，就是現在我們在美索不達米亞的那些博物館里邊還是能夠看到這樣的文物。
就是用泥巴做成的小球，在這個小球里邊放著很多籌碼，一個籌碼代表一隻羊。
然後怕你中間羊群主人更改，所以他們將那籌碼全部放在那個小球里邊燒起來。燒完了以後整個小球密閉的，誰也沒法改變。
但是這個東西有個麻煩是什麼？就是每次只能貿易一次，貿易一次敲掉就完了。那如果你說我這群羊要賣給好幾波不同的人，就沒法搞了，因為那個小球你不能隨時燒，這就很麻煩。他們說這怎麼辦？
這些人琢磨，琢磨出來一個什麼辦法？乾脆我把這個籌碼既裝在這個小球里邊，我也刻在這個球外邊，在球外邊一道一道地刻上這個籌碼。這樣的話，里邊外邊配合著，這就安全了。
你想知道有多少只羊，看一下外邊你就知道。然後隨著這種貿易方式越來越多，人們慢慢醒過味來，那既然能刻在外面，乾嗎還要在里邊放一些籌碼？沒理由。
因為里邊、外邊是一樣的，所以幹嗎在里邊再裝那個籌碼？乾脆就拿一個泥板，用一塊泥板在上面用楔形的那種符號標記，1個 2個 3個 4個，就用這樣的方式記各種各樣的數。
這就是人們在一開始，要去用符號對應數字的這種渴望所產生的一系列的數字。
那時候沒有十進制的概念，不同地區所發明的進制都不一樣。真正的十進制是哪來的？是阿拉伯數字。我們叫阿拉伯數字，阿拉伯數字並不是阿拉伯人發明的，阿拉伯數字是印度人發明的。
然後直到阿拉伯人入侵了印度以後，才把這一套十進制的文明帶到了整個阿拉伯地區。然後通過阿拉伯地區，再傳到了歐洲，成為了我們今天眾所周知的十進制。
這里邊有一個非常重要的突變，就是過去我們比如說記3只羊，畫的那個楔形符號要畫成羊的樣子，畫3個羊頭，代表著這是3只羊。然後你要是3只雞怎麼辦？你得畫3個小雞的樣子。
所以每一個數字和物體之間是捆綁在一起的，你沒法說單獨有一個概念叫數字，後來有人就開始發明我乾脆就標一個符號，這個符號後邊加一個括號，一個羊頭，這就代表著數字和羊。
這就是我們說的，人類關於數學的第一個里程碑，就是從計量的這個物體當中把數字解放出來，讓數字具備了抽象性。
就光這一步，我估計就得走上千年，人們才開始逐漸有了數字的概念。
古希臘
然後接下來我們就要講數學里邊最高級的東西，在那個時代最高級的東西，叫數學世界當中的王后，是誰？是幾何學。
各位你知道過去很多的哲學家，都討厭學幾何的人。原因是什麼？說幾何來自於自私。
因為人們之所以發展出幾何學，是因為那時候的洪水經常泛濫。無論是埃及，還是巴比倫，還是中國，你發現都是在河邊。
長江、黃河、兩河流域、尼羅河河邊，在這個河邊大家分了很多的土地。
土地是個人的財產，結果第二年洪水一發作以後，大家說找不著了，那個土地的邊界又沒了。然後每次都為這個事打架，每次分不清。
這時候就特別需要一個工作者，叫作繩索調制員，繩索調制員就負責測量土地。
然後在那個時候，他們所測量土地，所用的最有效的方法，就是直角三角形。
不約而同，古巴比倫、古埃及和中國，同時研究用直角三角形來度量土地的方法，所以我們中國過去就有《九章算術》。
《九章算術》就告訴我們，勾三股四玄五這樣的勾股定律，這個和畢達哥拉斯他們在西方所研究的幾乎一模一樣。因為這是自然規律，所以大家都在研究，用三角形去測量。
你知道古希臘的時候，測量員有多牛？亞歷山大大帝統一了歐洲、非洲和亞洲的很大片的土地。然後亞歷山大帝的國土前所未有的大。他就想知道我這國土面積到底有多大？
然後就找一群人，說你們幫我測一下，量一下這個國土面積到底有多大。
各位你想想看，按照那個時候的計量手段，連個尺子都沒有，就是一些繩索就這樣的東西，然後就一群人開始量。他們測量亞歷山大帝的國土面積，怎麼測？靠走路的。
就是一群人，你要想象一群中壯年的男人排著隊，在廣袤無垠的大地上一步一步地走過去，然後測量亞非歐跨越三個州的這麼大的土地的面積。
測量出來的結果，各位，和今天的實際相比誤差小於5%。我覺得簡直不可思議。
在亞歷山大大帝測量了他的土地兩個世紀以後，古希臘的數學家埃拉托斯特尼在埃及要做一件大事，什麼大事情？他要測量地球的周長。
但是他沒有派那些皇家測量員們可憐地圍著地球走一圈，埃拉托斯特尼巧妙地通過觀察塞因市（就是現在埃及的阿斯旺市）與亞力山大港之間的太陽光線傾斜角度的差別，來斷定這兩個城市之間的距離，應該是地球周長的1/50。
就是他根據那個太陽光線的角度，就是幾何學的作用，然後認為應該是地球周長的1/50。
然後就測量了這兩個城市之間的距離。古埃及的皇家測量員，這一次沒有通過數自己的步數來測量，而是通過數他們駱駝的步數來測量。
因為駱駝這種生物以步伐均勻、穩健而知名。每一步的距離都一樣，所以經過一段漫長的沿著尼羅河的旅行，結果出來了，兩個城市之間的距離，大概是5000個場。
場就是，你可以理解成足球場，一個場的長度大概是157.5米。因此我們的地球周長是25萬個場，也就是39375千米。
再一次地，這個結果展現出了驚人的準確度，埃拉托斯特尼的計算誤差，僅有2%。
也就是我們今天實際的地球周長是40008千米，它只有2%的誤差。就是通過數駱駝的腳步和看太陽的光線，算這個角度，算出來的。這就是我們說幾何，對於我們當年的人類是多麼重要。
所以那個時候有很多幾何學家涌現出來。比如說泰勒斯的徒孫畢達哥拉斯就發現了勾股定理，就 a²+b²=c²，但是他那時候不是這樣表述的。那時候的表述都是文學性的表述方式。
然後劉徽也用不斷拆分一個三角形的方式去證明瞭勾股定理。那時候證明的方式更多的就是用幾何的方法來證明。
在這里邊泰勒斯起到了一個非常劃時代的作用。泰勒斯提了一個幾何上的定理，聽起來很簡單，說一個圓的任意直徑將該圓分為等面積的兩部分。
就一個圓，直徑分成等面積的兩部分。咱們大家聽了覺得，這需要你說嗎？這我們都知道，這沒什麼好說的。而且在過去，很多人都知道這件事了。
但是對不起，這是一個有劃時代意義的事情，這個陳述之所以了不起，並不是因為它的內容，而是他的表達方式。
泰勒斯敢說所有的圓都這樣，毫無例外。而同樣是表達這一個規則，古巴比倫人、古埃及人、古代中國人，都是舉著一個一個的個例，沒有把它上升到定理的高度。
作者可以不斷地重複列舉類似的例子，用直徑切割一個一個的圓，但是卻從來沒有人下一個普遍意義上的陳述性斷言。
而泰勒斯跨越了這個鴻溝，通過這樣的操作，泰勒斯明確地給幾何圖形賦予了抽象的數學對象的地位。
這種思維階段，正類似於2000多年以前美索不達米亞人，首先將數字從計數的對象上獨立出來。所以有了這樣的定理才會有後邊的推論。
我們所有的每一句話都一定有一個前提，就你前邊的那個前提得是正確的，你後邊這句話的推理才會是正確的。
那麼一直推到最後最前面那句話是什麼？後來一個集大成者叫歐幾里得，他寫了一本書叫《幾何原本》。
在今天看來，大家都不知道歐幾里得是什麼樣的人，很有可能歐幾里得就不是一個人，他可能是一群人。而這個《幾何原本》的再版次數，在全世界僅次於《聖經》。
《幾何原本》給出的5條公理，是我們所有幾何學其它定理的起點。
比如說任意兩點能夠定義一條線段，然後若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角和，那麼這兩條直線在各自不斷延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
我給大家講一個案例，就是大家知道徐州有一個漢楚王陵。這個楚王陵最神奇的地方在哪兒？你想那個時候的人修一個墓道，他要求這兩條的邊一定是要盡量平行的。
然後就用當時的工具修了兩條平行的牆。現代的人開始測量這個平行的牆有多平行，後來發現這兩條平行的牆，如果一直延伸出去的話，它們的交點在西安。
就是從徐州一直延伸到西安，這兩條平行線才會交匯，就證明做得是多麼了不起。所以幾何對於我們來講是很重要的。
在公元前287年，揭秘π這件事的那個人出現了，叫阿基米德。阿基米德最常說的一句話，叫作“尤里卡”。尤里卡是什麼意思？
就是我發現了，我明白了這樣的意思。他在那個浴缸里邊泡著，然後看到那個水溢出去，然後說尤里卡，我終於明白了浮力的關系，就是排出的水的重量。
阿基米德研究π是相當精確的。我們對比一下《九章算術》當中，中國人算的《九章算術》當中，這個π的值接近於3，然後用化圓為方的這種方法，大家能夠算到3.16。
阿基米德算到3.1408到，3.1428之間，大概誤差就是0.03%。
人們慢慢地發現這個數字除不盡。這里邊跳一下，我們到2015年的3月14號，你看，突然跳到這一天。你們覺得這一天應該是一個什麼日子？2015年3月14號。
如果用西方的表述數字，來表述出來的話，是3.1415。你看到嗎？
所以這一天被人們稱作π節。這個π節在法國是巨集大的慶祝，從一個宮殿里邊3.14，然後一直往外寫，一直往外寫，寫到大街上，整條大街到處都貼著π的數字，因為圓周率是無窮無盡的。
你知道圓周率里邊，有一個很有意思的現象。比如說我是1976年3月24號出生的，所以我的生日數列就是19760324。
這是我自己獨有的生日數列。你會發現在π當中一定能夠找到19760324這個數列。
然後所有人的生日，你們每個人，你們1987什麼什麼，你們每個人的數列在π當中一定都能夠找到，具體在哪一位不知道。有可能在幾百萬位以後，只要你有這耐心，一定找得到。
這個事目前沒有證偽，就是所有的人都能找到，這個是事實。但是沒法證明這件事，就是你說有什麼規律證明這件事，不知道。
但是還沒有一個人的生日在π當中找不到這樣的數列，因為它的確是太長了。
如果我們只學直角三角形，那麼勾股定律a²+b²=c²，這就結束了。但你會知道這個世界上，還有很多三角形是不規則的，不規則的三角形是由阿拉伯人來揭示的。
你知道人類歷史上有一個階段，你如果學過《人類簡史》的話，你會知道有一個階段最文明的科學，都集中在阿拉伯地區。所以阿拉伯人發現，測量夾角比測量距離更容易。
就比如說我要測量一個特別大的三角形的面積，這時候你會發現你要量那麼遠的地方，你根本去不了，你不可能環游世界。
但是如果我把角度能夠量出來，這個是很容易的，角度最多的360度，所以我一定能量出來。
我如果能夠量出這個角度來，我就能夠控制那個距離，這個關系是非常了不起的。應該說希臘人是人類歷史上第一個建立了三角函數表的民族。
現今流傳下來的最古老的三角函數表載於托勒密的一本書，叫作《天文學大成》。
阿拉伯帝國
對於三角學來說，阿拉伯世界的學者起到了關鍵的作用。不僅僅因為他們撰寫出了更精確的三角函數表，還因為他們對於三角函數的應用。
1427年，阿爾·卡西發表了他的著作叫作《算術之鑰》。卡西定理的原理，基於修正的畢達哥拉斯定理，也就是說如果一個三角形，不是直角三角形，那麼兩條較短邊邊長的平方和就不等於第三條邊的平方。
然而只需要添加一個修正項，這個等式又會成立了，而這個修正項，是通過計算兩條較短邊邊長之間夾角的餘弦得出的（就是我們說的cos那個概念）。直到今天，卡西定理依然是經常使用的三角學的結論之一。
各位你知道，這件事對你們來講有多重要？你們今天來這個地方的時候，有沒有用GPS？如果你用了GPS，你就得感謝卡西，沒有他去研究sin、cos，我們根本沒法定位這個人在哪兒。
你知道你是怎麼被衛星發現的？就是你的手機在任何一個地方都會有周圍三個基站找到你。
這三個基站找到你以後，就形成了很多個三角形，通過快速地計算，你的位置就被精確地確定。
你到底在高速公路的邊上，輔路，還是主路，橋上，還是橋下，通過這三個基站的信號，通過sin cos的系列轉換的運算，只不過不用我們拿手算了，通過計算機，就能夠算出你精確的位置。這就是數學，對於我們現實生活的影響。
這是幾何學。我們前面講幾何學是數學世界里的王后。那國王是誰？你要知道，在過去都是幾何學特別占優。原因是所有的數學幾乎都可以通過畫圖的方式來求解。
就像今天的小孩學到三年級以前，老師都經常教他用畫圖的方式來證明這件事。但是代數的發展實在是太快了，代數的發展很快發展到了畫圖沒法解決的時候。
各位知道你要想研究代數，首先得知道零和負數的這個概念是怎麼來的。世界上寫出第一個0，圓圈代表0這個數字的人，我們應該記住他的名字，他叫作婆什迦羅。婆什迦羅你聽這名是個印度人。
然後婆羅摩笈多，是印度歷史上非常著名的數學家，他描述了零和負數。各位你知道零和負數這個概念的發明有多了不起。你比如說我跟大家講，我說我曾經見過婆羅摩笈多。
你們覺得我說的是一句真話，還是一句假話？我說我見過婆羅摩笈多，假話對嗎？假話。但是我如果加上一個數字，我說我見過婆羅摩笈多零次，真話。這就變成了真話。
所以數學是一門賦予不同事物以同樣名字的藝術。有了零，有了負數，我們可以不去考慮這里邊的邏輯語義。我們只需要用加減乘除的方法把它表示出來就可以了。
我口袋裡有沒有錢，有錢，有多少？負的。我的口袋裡是負的錢，這就是小孩子們最喜歡玩的游戲。
就人們可以去看到或者表達出來很多肉眼看不到的東西，同時賦予它一個人們確切能夠理解的意義。這多了不起的一件事，所以我們要感謝印度人。
然後有一個年份很好記，seven eleven，就711年。711年阿拉伯入侵了印度，所以把數學的這些概念，就把這個印度數字帶到了阿拉伯世界，然後形成了今天我們所說的阿拉伯數字。
然後這時候有另外一個非常重要的數學家出現，叫花拉子米。花拉子米是花剌子模人，但是他可能從小生長在巴格達。
這個花拉子米給我們發明瞭一樣非常重要的東西，就是今天很多學生很痛恨的東西，叫作代數學。
代數怎麼來的？花拉子米經常會出這樣的題，說尋找一個數字，這個數字乘以數字甲，可以得到數字乙。你看就是這樣的表述方法，那時候沒有加減乘除的符號。
大家知道加減乘除這個符號，是一直到文藝復興時期，才被人們真正發明出來的。
所以花拉子米用了另外一種方法，他的所有陳述的開頭都是尋找一個數字，就好像我們說設什麼為X，這個就是代數學的鼻祖。花拉子米不斷地推動著數學的抽象性和普遍性。
那時候如果要證明一個平方問題，就是2的平方、3的平方等於多少，很簡單，畫圖就可以了。
平方只需要你從那條邊畫出一個正方形，這個平方就能夠算得出來了。所以那個時候的很多人還是在用幾何的方法，在證明數學問題。
但是很快人們就發現了三次方，就是當它有一個三次方的時候，你怎麼樣用畫圖的方式來證明它？那再有四次方怎麼辦？
所以這時候你發現，幾何逐漸地被代數甩在了身後。然後這時候蒙古人入侵了阿拉伯的世界，我們讀過成吉思汗的那些書，你就知道。然後歐洲開始接替成為數學的核心。
就是這些數學家基本上都逃亡到歐洲去了。然後歐洲的數學研究開始豐富起來。
在公元16世紀初的時候，這時候有一段特別有意思的故事，就是人類開始徵服三次方程。就是在過去人們只會算二次方程，三次方程不會算，所以人們一直以為三次方程無解。
這一段故事是充滿著戲劇性，而且可以說是數學史上的一齣鬧劇，特別好玩。
在16世紀初的時候，德爾·費羅費盡了九牛二虎之力，試圖讓他的競爭者們不要窺探到三次方程解法的秘密。
就是德爾·費羅解出了三次方程，但他不跟別人說，他悄悄地跟誰都不講。這位博洛尼亞的數學家去世於1526年。
然後他有幾個學生，他傳給了他（們），然後德爾·菲奧雷（其中一個學生），壓抑不住自己的天性，決定站出來賣弄。
他賣弄的辦法是，他向全歐洲的數學家發出挑戰，說誰能夠解出三次方程就算你贏。漸漸地，人們開始傳播，說三次方程有可能是可解的，逐漸地傳播開來。
1535年一位威尼斯的數學家，尼科洛·塔爾塔利亞接到了德爾·菲奧雷的戰書。當時塔爾塔利亞35歲，沒有什麼名氣，但是他們倆決定比拼一下。
雙方互相給對方開了一張難題清單，這就跟我上中學的時候，跟我的同桌乾的事一樣，給對方開了一張難題清單。上面各有30道難題，輸了的人要支付30桌酒宴的錢，誰輸，誰請客。
然後在接下來的幾周時間內，塔爾塔利亞面對德爾·菲奧雷的這個三次方程絞盡了腦汁，結果最終在期限到來前幾天，他福至心靈，終於發現了三次方程的解析式。
於是他花了幾個小時的時間把30個三次方程都解開了，贏得了勝利。
然而故事並沒有結束，這個塔爾塔利亞也拒絕向公眾公佈他的方法，一晃就過去了四年，事情回到了過去的原點。
然後在這個過程當中，這個三次方程混戰的故事傳到了一位米蘭的數學家（也是工程師）叫吉羅拉莫·卡爾達諾的耳里。
大家聽到吉羅拉莫·卡爾達諾這個名字，汽車愛好者應該不會覺得陌生，因為萬向接頭就叫作卡爾達諾。就是萬向接頭的發明人就是他。
這個卡爾達諾使了特別多的詭計，他在1539年給塔爾塔利亞寄了8道三次方程的題，希望塔爾塔利亞能夠告訴他，塔爾塔利亞斷然拒絕。
這位米蘭學者於是非常氣憤，嘗試了恐嚇的手段，通過發動全義大利的數學家聲討塔爾塔利亞，譴責他狂妄無禮、囂張跋扈，但是塔爾塔利亞不為所動。
後來在1539年，卡爾達諾把塔爾塔利亞騙到了他的家裡邊，就是騙他來。騙來了以後說，有一個侯爵要見你，這個侯爵要對你進行保護。
因為那時候的這些文藝工作者、數學家都需要找到一個領主來保護他。所以這人就去了，去了以後，侯爵根本就不在。
結果他們倆就有好幾天，三天的時間相處，在這三天的時間里邊，卡爾達諾向塔爾塔利亞發誓，不把這個解析過程公佈出來。
塔爾塔利亞也將三次方程的解析式告訴了卡爾達諾，但是在很多年以後他們發現德爾·費羅才是第一個解出三次方程的人。
於是卡爾達諾認為自己在米蘭的誓言應該是無效的，他在1547年發表了《大術》這篇文章。
然後三次方程的解法終於大白於天下，直到今天為止三次方程的解析式，依然以卡爾達諾命名，被稱作卡當公式。
但是在這個過程當中，人們就發現你要解除三次方程，有一個必須要過的關，就是要給負數開平方根。你知道2的平方等於4，-2的平方等於幾，還是4。所以即便是負數的平方也是正數。
因此過去的數學里邊認為負數不可能有平方根。因為不可能有一個數的平方是負數。所以怎麼可能有負數的平方根這個概念？
但是你為瞭解三次方程這麼一個數學智力題，人們必須得算到那一步，有一個負數你得給它開平方根。沒辦法。
這時候人們的創造力再一次地被推進，人們發明瞭一個數字叫作複雜的數。
歐洲
一開始把它叫複雜的數，後來覺得復雜的數這個稱呼還是不夠清晰、簡潔。笛卡爾後來給這一類數字起了一個名字叫作虛數。
大家遙遠的回憶當中，還有虛數這個概念吧？我不奢望你們知道什麼叫虛數，因為我已經忘記了什麼叫虛數。
反正數學里邊學過這個概念，虛數。虛數的概念有多重要？直到幾百年以後，人們才真正應用到了虛數的概念。
在哪兒？就是波和量子力學里邊。我們要去研究量子物理學，沒有虛數的概念，你是沒法算的。
我爸爸是個數學教授，我爸爸從小就告訴我說，你雖然不知道數學的作用，但是數學是一切科學的基礎。就是沒有數學上的進步，人們就不可能進一步地瞭解這個世界。
我那時候不理解，我直到今天40多歲的時候，我讀到這本書，我才知道，人們只有發明瞭數學工具，才有可能在物理的世界里邊進行進一步的深入的探索和研究，真是了不起。
從此代數進入了抽象的領域，也就是我們沒法再往下講的領域了。這個作者說你也別指望我跟你講明白，因為我也不懂。這個實在是太難了，這是非常專業的數學領域。
但是我們就要知道，代數學是遠遠超過我們現實世界所看到的東西，只有它在不斷地延伸和發展，我們這個現實世界才能夠跟得上，這是我們說整個代數發展的過程。
那麼數學是怎麼推動整個人類發展的？咱們舉幾個例子，比如說大家能夠認知的給我們的價值觀帶來改變的人。
比如說伽利略，伽利略是一個典型的推動這個世界進步的人，伽利略發明瞭天文望遠鏡，伽利略觀測到了土星環和太陽黑子，然後他還研究了金星的周期。
發現了木星的衛星，他是日心說的倡導者，伽利略第一個提出了，一個物體在沒有外力乾擾的情況下，它是保持勻速直線運動或者靜止的。
那這個跟我們的觀測是完全不一樣的，我們看到一個東西說它明明不動，但是伽利略認為它會勻速直線運動一直下去。
我們看到的是，它扔出去就掉地上了，但是伽利略又說，那是因為有重力的作用。
所以牛頓說我是站在巨人肩膀上發現這一切的。那你知道伽利略還做了自由落體，在比薩斜塔做自由落體的運動等等。
伽利略就是塔爾塔利亞的徒孫，就是當年那個證明三次方程的數學家的徒孫。伽利略認為，自然有它內在的規律，被數學法則所控制。
所以他可以通過不斷重復性的實驗來發現這些數學的規則，這就是數學對於伽利略的啟發。
那我們再說牛頓。牛頓的公式——F=（G*m1*m2）/r²，就能夠算出萬有引力。
沒有萬有引力定律，我告訴你，各位，連個大炮都打不準。就是你的大炮從這兒發射到那一端，能打到那個點上，為什麼打得準？它一定是用公式算出來的。
這里邊最精彩的一段就是，在18世紀末，幾位天文學家發現了天王星——當時已知的太陽系最外側的行星的運行軌道並不規則，天王星並沒有嚴格地遵循人們按照萬有引力計算出來的路徑運行。
面對這種現象只能有兩種解釋：要麼是牛頓的理論錯了，要麼還存在著，另外一些未知的天體對天王星的軌道產生了干擾。
從天王星的觀測軌跡入手，勒維耶開始計算這顆假定的新行星的位置。他花了整整2年的時間努力演算，最終得出了一個結果。
接下來就是見證奇跡的時刻，1846年9月23號和24號晚上，德國天文學家，約翰·格弗里恩·伽勒，將望遠鏡對準了勒維耶計算出來的那個方向，他仔細地在視野中尋找，然後他發現了它。廣袤深邃的夜空中，一個小小的藍色光點。
在距離地球，超過四十億千米的地方，那顆行星就在那裡！海王星。這就是數學對我們物理世界的影響。人們堅信數學公式的有效性，然後慢慢地去發現了海王星。
牛頓為瞭解決，一個物體運行的速度為什麼只能算平均速度，就你把這個松果從這兒扔到那個牆上，按照牛頓之前的人算，只能算平均速度。
但是牛頓說，明明它每個時點的速度是不一樣的，出手的時候最快，到那兒就慢了，要把這個東西準確地算出來。
哇，牛頓自己在家裡邊發明瞭一套新的數學工具——微積分，然後後來和萊布尼茨兩個人同時發表，說我們都發明瞭微積分。沒有微積分，人們就沒法認識到有一個東西，叫作無窮小。
當我們能夠把一個事物分成無窮小的時候，我們才能夠接近於limit，就是極限地去計算它的精確度。
那天我在八大處爬山，重陽節的時候，聽到兩邊兩個驢友在聊天。北京的驢友層次真的好高，一個驢友就跟旁邊那大叔說，知道什麼叫微積分嗎？那大叔說，你跟我說說。
驢友說，你看到地上的台階了嗎？台階一個一個都是長方形，你把這長方形不斷地拼，不斷地拼，拼成一個圓，它就是微積分。聽起來有點糙，實際上是有道理的。
這就是古代人整天研究的化圓為方，你把化圓為方能夠化到無窮小，用極小來表述，那就是微積分的思想出現了。
所以牛頓是典型的用數學的方法改變了整個人們認知世界方式的這麼一個人。
大家知道愛因斯坦顛覆了牛頓的演算法，因為愛因斯坦認為，星球和星球之間的力量，不是靠萬有引力計算出來的。
而是因為太陽有極大的質量，造成了它周圍的時間和光的扭曲，形成了一個像盆子一樣的軌道。所以這些星球在圍繞著太陽這樣轉，這是我們簡單的通俗的說法。
那你怎麼能夠證明愛斯坦是對的？愛因斯坦說因為光是扭曲的，所以我們應該按照，如果是直線，光是直線走的話，我們是看不到太陽背後那顆星星。
但是因為我說光是扭曲的，所以我們從理論上應該能夠觀測到太陽背後的那顆星。但是你沒法看，因為有一個太陽，那麼亮，誰也看不著。
後來大家就等，愛因斯坦已經算出了那個夾角，就是那個光是經過太陽的時候扭曲到這兒，所以他算出那個夾角的度數，都算出來了。大家就沒法證明這件事。
一直到1919年的5月那天，全世界出現了日全食。日全食以後，所有的天文學家就拿起望遠鏡，朝著愛因斯坦所說的那個方向看了過去，這時候見證了愛因斯坦廣義相對論的勝利。
這就是又一個層次的數學不同。然後2012年的希格斯玻色子的發現，證實了早先預設中的粒子物理學的標準模型，以及2015年9月14號引力波的存在首次被檢測到。
為了讓他們的發現獲得合法性，所有偉大的科學發現都需要數學的幫助，即代數方程和幾何圖形的幫助。
數學已經展現出了它們不可思議的強大力量，在今天，沒有任何一條，嚴謹的物理學理論敢用除了數學語言之外的其他語言進行描述。
就是你說我發現了一個定理，我用詩一樣的語言描述出來，沒用，排比句都沒用。你必須得用數學的語言描述出來，才能夠被全世界認知、瞭解。
這就是數學的重要性，也是數學的魅力所在。
這里邊就到了，愛因斯坦所說的，竟然如此簡潔，我們的自然能夠如此優雅地使用數學語言和我們交談，這是多麼神奇的一件事。大自然用這麼簡潔的方式跟我們溝通。
奇跡的出現並不僅僅在於萬有引力。電磁現象、基本粒子的量子機能，時-空的相對變形，所有這些現象都能夠，以簡潔得令人吃驚的數學語言表達。
這個最著名的公式E=mc²，這個由愛因斯坦建立的等式，展示了物體質量與能量之間的等價關系。
這個通常被認為是關於我們生存的這個宇宙，最迷人、最深刻的原理的代數公式，僅僅有五個符號構成。
關於這種神奇，愛因斯坦說過一句著名的話，“宇宙最不可理解之處，就是它居然可以被理解”。
所以人們對於宇宙還有特別多複雜的疑問，這個作者講，讀者們，請別指望我能夠給你們答案。
我也要告訴大家，不要指望我能夠給你們答案。我們就希望聽過這本書的人能夠對數學有一點好感，有一點親近的感覺。
如果是一個孩子，你完全有機會成為偉大的數學家。還有圖靈機的發現到計算機，到今天的萬維網。
這個世界越來越複雜，然後複雜科學，混沌科學，混沌數學，復雜代數，全部都是從最早的我們所說的那個美索不達米亞的那些楔形的數字演化到今天的。
那麼我們講講未來的數學什麼樣？20世紀數學界最閃耀的寶石，應該被稱作曼德博集合。什麼叫曼德博集合？
我給大家一組數字，0 2 6 38 1446，你會覺得這數字也太離譜了。這是什麼數列？這個數列有一個公式，就是0，這是第一個數字，第二個數字什麼呢？
0的平方加2，這不就是2。然後2的下一個數字什麼呢？2的平方加2，是6。然後再下一個數字，6的平方加2，38。然後38的平方加2，1446。
然後當人們把這個數列，用圖形的方式表達出來了以後，你會發現，就是如果把這組數列，背後的那個數字你可以不加2，你可以加1，可以加3，可以加不同的數字，我們慢慢就會生成這樣一幅圖。
你有沒有發現它是一個完美對稱的圖形？很像我們自然界當中的圖形，你再往後翻一頁，你會發現不可思議的東西出現了，像不像雪花？像不像章魚的觸角？整個世界竟然有著如此完美的分形。
所謂分形是什麼？就是你看雪花，這麼大一片，你把雪花其中的一支拿出來看，它是很多個這樣的小小的東西組成的。你再往小看，又是很多小小的這個東西組成的。
你在太空中看那個海岸線，海岸線的那個岩石的樣子，然後再往下濃縮，找一塊石頭。看這個石頭上凸出的紋路，再往下細小，竟然都一樣。這個東西就是我們整個自然界分形這個現象的來源。
所以一直到20世紀80年代，在電子計算機的幫助下，人們才最終獲得了精確的圖形，法國數學家本華·曼德博是第一批深入研究這個圖形的幾何性質的學者之一。
於是後來他的數學家同事們就給這個圖形命名為“曼德博集合”。曼德博集合非常迷人！它的輪廓是一個幾何花邊，具有不可思議的和諧性和精確性。
如果放大它的邊界，你會看到越來越無限精細的、以令人難以置信的方式雕琢而出的圖案（它可以無限地分下去，就這個數列。）。
如果需要根據奇形怪狀的複雜方程，專業而混亂的計算過程或者荒謬離奇的數學結構來畫出這樣的美妙圖形，我們或許可以說：“當然了，這個圖形是美麗的，但它完全是‘人’造的，所以沒什麼意思。”
可是，並不是這樣，這個圖形僅僅是一些數列的基本性質的幾何表示，而這些數列的定義只需要幾個字就能說清楚。從一個如此簡單的規則出發誕生瞭如此美妙的幾何奇跡。
未來的數學
這種發現必然再次引起關於數學本質的大討論：什麼是數學的本質？數學到底是人類的發明，還是一種獨立的存在？數學家到底是創造者，還是發現者？
這個問題值得我們深思，是我們人造了這麼一套體系，還是我們人逐漸摸索到了自然原本就存在的秘密的體系，這就是探索的過程。
的確，在幾乎所有的科學領域，我們總是能夠發現那些特別美的事物。天文學家提供給我們的天體照片，我們驚嘆於星系的形狀、彗星閃閃發光的尾部，或者星雲瑰麗的色彩。
宇宙是美麗的，確實如此，我們運氣很好。但是我們也必須得承認，如果宇宙不是這麼美麗，我們也沒有什麼辦法。數學家有時候也不知道自己在做什麼。
往往在數學家去世很久很久以後，他們創造出的數學才完全揭開了自己的秘密和真正的屬性。又或許我們也依然猜不出這些數學在下個世紀，將會實現怎樣的應用。
只有時間知道如何給出合適的距離，來欣賞數學創造所具有的真正價值。
我讀到這一段的時候就想起來我爸爸告訴我，他這一輩子他認為算得最棒的一個公式。
他那時候在西北農業大學農機系，農機系就要搞農業機械，農業機械里邊有一個，就有一個機器的刀頭，是一個不規則的曲面。
這個刀頭就很難生產，因為人們不知道這個刀頭的公式，人們只能夠看到是那麼樣的一個人國外進口來這麼一個曲面，這麼一個曲面的刀頭。
每次生產就要鑄模，就要幹嗎，經常出現誤差，那個刀頭就會出問題。
後來我爸就把那個刀頭拿回家，自己就測量那個刀頭上的數據，測量完了以後，我爸爸悶頭在家裡邊算出了那個曲面刀頭的方程，就是叫作曲面方程。
他把那個曲面方程算出來了以後，生產那個刀頭再也沒有問題，就是因為人們知道了那個刀頭的曲面的規律。
當時他們的校長，還有這方面的專家都覺得這個年輕人真的了不起，能夠無中生有地找出一個公式來。
事實上就可能像是那些偉大的數學家去發現了宇宙的那些更加終極的秘密一樣，這就是數學對我們的影響和它的美好之處。
最後還有一個小知識傳遞給大家，大家見過那種正多面體嗎？正多面體。
比如我們會看到正四面體，周圍都是三角型的那個，正四面體，還有正六面體。
就是大家見過魔方這樣的東西，還包括正八面體。那麼最多能夠正多少面體呢？
人們甚至以為它可以無限地區分，而且有很多的這種文化衍生品都做成很多個側面這樣的。
但是事實上，早在古希臘的時候，泰阿泰德就已經揭示了這個秘密，所有的正多面體最多是二十面體。
也就是我們說的四面體、六面體、八面體、十二面體、二十面體。這個東西被叫作柏拉圖立體，實際上跟柏拉圖沒有任何關系，是泰阿泰德發現的。
那麼直到今天我們看到足球，足球都是十二面體，最多是二十面體。它可以不斷地切，但是它永遠的那個頂點都是這麼多。
而這個東西跟我們有什麼關系？你們如果去瞭解你們身體里的那些病毒，都是接近於正十二面體，或者是正二十面體的。
因為用這樣的方式生長是最均衡的，這就是整個世界的奇妙之處。
所以，我沒法講出整本書所有奇妙的東西，我給大家梳理的是數學整個發展的歷史和過程。
我們能夠知道我們今天所學的那些代數、幾何、立體幾何、解析幾何都是有它的淵源的，而且它在人類的歷史上是多麼酷，多麼重要。
所以每一個孩子，我勸大家一定要愛上數學。因為它既美又神秘，它才是真正這個世界上最酷的事情。希望這本書能夠讓所有人親近數學，謝謝大家 我們下周見。
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圖取材自:台灣世界展望會
取自：樊登讀書，萬物皆數
取自：樊登讀書，萬物皆數
各位歡迎光臨我們的樊登書店，今天我們要講一本數學書，我知道很多人對數學不太感冒，覺得我從小就不會學數學。但是你相信我，你聽完這本書之後，或者你帶著你的孩子聽完了這本書之後，我保證他一定會愛上數學，因為我就是這樣。
大家可以看一下我手上的松塔，你註意觀察松塔的這一面的話，你會發現，這個松塔會有正向的螺旋和反向的螺旋。正向的螺旋數有多少個，反向的螺旋數有多少個。你說這個數字有什麼好看的？你會發現這個松塔的螺旋數，要麼是5，反面是8；要麼正面8，反面13；要麼13，反面是21。就不會出現8、11，或者是9、6這樣的組合，為什麼？因為所有松塔的正向螺旋和反向螺旋的數字，一定符合斐波那契數列。
什麼叫斐波那契數列？就是斐波那契這個數學家，他就發現，一對兔子還不會生育的時候，它們倆始終是1對，所以第1個月它們倆是1對。然後等到第2個月的時候，它們倆還不會生育，所以還是一對。等到第3個月的時候，它們倆生了1對兔子，所以就變成2對了。等到第4個月的時候，這對兔子又生了1對兔子，而那對小的兔子還不會生育，它們就變成了3對。然後再往後 下1個月的時候，那對小的兔子也過了2個月了，也可以生育了。所以它們那個數列一定是：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55。
兔子的繁殖能力是非常強的，每個月都能夠生一窩，所以用生育的數字排列下去，就形成了一個關於生殖的數列。所以我為什麼對這個案例情有獨鐘？就你會覺得在自然界當中，我們看著非常自然，非常普通，沒有規律的東西，在數學家看來，可能它就暗暗地符合著某一些非常奇妙而又簡單的規律，這就是數學的魅力。
所以愛因斯坦曾經說過一句我覺得特別有哲理的話，他說這個世界最難以理解的地方，就是它居然可以被人理解。你看這話說得多棒，就是你會覺得f=ma這麼一個公式，就能夠概括出來我們的身體的質量，和（加）速度、力之間的關系嗎？你會覺得牛頓的萬有引力的公式，就能夠算準一個多重的東西和另外一個東西之間，會產生多大的吸引力，然後我們為什麼會站在這個地球上？更可怕的是E=mc²，就是愛因斯坦發現了這麼簡潔美好的一個公式，就讓我們知道了質量和能量之間轉換的這種規律。
所以這個世界很有可能，是有著它天然的數學的原理的。如果一個人不懂數學，就像柏拉圖那時候，在教哲學的時候，他會在門上寫一個標語，叫作“不懂幾何者嚴禁入內”。就是你沒有資格探索這個世界，這個宇宙的奧秘。
所以今天我們就來講《萬物皆數》這本書，讓大家理解數學和我們的生活有著什麼樣的關系，數學到底是怎麼發展起來的。萬物皆數這句話是誰說的？是非常著名的——我們在《生活的哲學》那本書里，介紹過的一個人叫畢達哥拉斯。他說：“萬物皆數”。那麼首先我們要解決的就是數學的第一個里程碑。要說到人類關於數學的第一個里程碑，那就是數字是怎麼從被計量的物體當中解放出來的？我們今天看各種各樣的東西，你會覺得有數字很正常，從0到9 這麼發明出來，然後重新組合就行了。十進制，誰腦子里沒有這個概念？但是你想想看我們的先人怎麼會有十進制的概念？我們的先人怎麼會畫出那麼奇怪的符號來代表數字這樣的概念？
最早人們有數字的概念，是美索不達米亞平原上的那些蘇美爾人。這些人要放羊，然後羊多了以後就要貿易，這時候你發現，這個羊出去了多少只，回來了多少只，不知道。然後有的人還會偷羊，拉出去一大堆羊，當然沒有數字的概念，少了一半回來，你也沒法說，因為不知道。
後來為了讓這個事變得可靠，他們想了一個特別呆萌的好辦法，就是現在我們在美索不達米亞的那些博物館里邊還是能夠看到這樣的文物。就是用泥巴做成的小球，在這個小球里邊放著很多籌碼，一個籌碼代表一隻羊。然後怕你中間羊群主人更改，所以他們將那籌碼全部放在那個小球里邊燒起來。燒完了以後整個小球密閉的，誰也沒法改變。
但是這個東西有個麻煩是什麼？就是每次只能貿易一次，貿易一次敲掉就完了。那如果你說我這群羊要賣給好幾波不同的人，就沒法搞了，因為那個小球你不能隨時燒，這就很麻煩。他們說這怎麼辦？這些人琢磨，琢磨出來一個什麼辦法？乾脆我把這個籌碼既裝在這個小球里邊，我也刻在這個球外邊，在球外邊一道一道地刻上這個籌碼。這樣的話，里邊外邊配合著，這就安全了。
你想知道有多少只羊，看一下外邊你就知道。然後隨著這種貿易方式越來越多，人們慢慢醒過味來，那既然能刻在外面，乾嗎還要在里邊放一些籌碼？沒理由。因為里邊、外邊是一樣的，所以乾嗎在里邊再裝那個籌碼？乾脆就拿一個泥板，用一塊泥板在上面用楔形的那種符號標記，1個 2個 3個 4個，就用這樣的方式記各種各樣的數。這就是人們在一開始，要去用符號對應數字的這種渴望所產生的一系列的數字。
那時候沒有十進制的概念，不同地區所發明的進制都不一樣。真正的十進制是哪來的？是阿拉伯數字。我們叫阿拉伯數字，阿拉伯數字並不是阿拉伯人發明的，阿拉伯數字是印度人發明的。然後直到阿拉伯人入侵了印度以後，才把這一套十進制的文明帶到了整個阿拉伯地區。然後通過阿拉伯地區，再傳到了歐洲，成為了我們今天眾所周知的十進制。
這里邊有一個非常重要的突變，就是過去我們比如說記3只羊，畫的那個楔形符號要畫成羊的樣子，畫3個羊頭，代表著這是3只羊。然後你要是3只雞怎麼辦？你得畫3個小雞的樣子。
所以每一個數字和物體之間是捆綁在一起的，你沒法說單獨有一個概念叫數字，後來有人就開始發明我乾脆就標一個符號，這個符號後邊加一個括號，一個羊頭，這就代表著數字和羊。這就是我們說的，人類關於數學的第一個里程碑，就是從計量的這個物體當中把數字解放出來，讓數字具備了抽象性。就光這一步，我估計就得走上千年，人們才開始逐漸有了數字的概念。
然後接下來我們就要講數學里邊最高級的東西，在那個時代最高級的東西，叫數學世界當中的王后，是誰？是幾何學。各位你知道過去很多的哲學家，都討厭學幾何的人。原因是什麼？說幾何來自於自私。為什麼幾何來自於自私？
因為人們之所以發展出幾何學，是因為那時候的洪水經常泛濫。無論是埃及，還是巴比倫，還是中國，你發現都是在河邊。長江、黃河、兩河流域、尼羅河河邊，在這個河邊大家分了很多的土地。土地是個人的財產，結果第二年洪水一發作以後，大家說找不著了，那個土地的邊界又沒了。然後每次都為這個事打架，每次分不清。
這時候就特別需要一個工作者，叫作繩索調制員，繩索調制員就負責測量土地。然後在那個時候，他們所測量土地，所用的最有效的方法，就是直角三角形。不約而同，古巴比倫、古埃及和中國，同時研究用直角三角形來度量土地的方法，所以我們中國過去就有《九章算術》。《九章算術》就告訴我們，勾三股四玄五這樣的勾股定律，這個和畢達哥拉斯他們在西方所研究的幾乎一模一樣。因為這是自然規律，所以大家都在研究，用三角形去測量。
你知道古希臘的時候，測量員有多牛？亞歷山大大帝統一了歐洲、非洲和亞洲的很大片的土地。然後亞歷山大帝的國土前所未有的大。他就想知道我這國土面積到底有多大？然後就找一群人，說你們幫我測一下，量一下這個國土面積到底有多大。
各位你想想看，按照那個時候的計量手段，連個尺子都沒有，就是一些繩索就這樣的東西，然後就一群人開始量。他們測量亞歷山大帝的國土面積，怎麼測？靠走路的。就是一群人，你要想象一群中壯年的男人排著隊，在廣袤無垠的大地上一步一步地走過去，然後測量亞非歐跨越三個州的這麼大的土地的面積。測量出來的結果，各位，和今天的實際相比誤差小於5%。我覺得簡直不可思議。
在亞歷山大大帝測量了他的土地兩個世紀以後，古希臘的數學家埃拉托斯特尼在埃及要做一件大事，什麼大事情？他要測量地球的周長。但是他沒有派那些皇家測量員們可憐地圍著地球走一圈，埃拉托斯特尼巧妙地通過觀察塞因市（就是現在埃及的阿斯旺市）與亞力山大港之間的太陽光線傾斜角度的差別，來斷定這兩個城市之間的距離，應該是地球周長的1/50。
就是他根據那個太陽光線的角度，就是幾何學的作用，然後認為應該是地球周長的1/50。然後就測量了這兩個城市之間的距離。古埃及的皇家測量員，這一次沒有通過數自己的步數來測量，而是通過數他們駱駝的步數來測量。
為什麼？因為駱駝這種生物以步伐均勻、穩健而知名。每一步的距離都一樣，所以經過一段漫長的沿著尼羅河的旅行，結果出來了，兩個城市之間的距離，大概是5000個場。場就是，你可以理解成足球場，一個場的長度大概是157.5米。因此我們的地球周長是25萬個場，也就是39375千米。
再一次地，這個結果展現出了驚人的準確度，埃拉托斯特尼的計算誤差，僅有2%。也就是我們今天實際的地球周長是40008千米，它只有2%的誤差。就是通過數駱駝的腳步和看太陽的光線，算這個角度，算出來的。這就是我們說幾何，對於我們當年的人類是多麼重要。
所以那個時候有很多幾何學家涌現出來。比如說泰勒斯的徒孫畢達哥拉斯就發現了勾股定理，就 a²+b²=c²，但是他那時候不是這樣表述的。那時候的表述都是文學性的表述方式。然後劉徽也用不斷拆分一個三角形的方式去證明瞭勾股定理。那時候證明的方式更多的就是用幾何的方法來證明。
在這里邊泰勒斯起到了一個非常劃時代的作用。為什麼？泰勒斯提了一個幾何上的定理，聽起來很簡單，說一個圓的任意直徑將該圓分為等面積的兩部分。就一個圓，直徑分成等面積的兩部分。咱們大家聽了覺得，這需要你說嗎？這我們都知道，這沒什麼好說的。而且在過去，很多人都知道這件事了。但是對不起，這是一個有劃時代意義的事情，為什麼？這個陳述之所以了不起，並不是因為它的內容，而是他的表達方式。
泰勒斯敢說所有的圓都這樣，毫無例外。而同樣是表達這一個規則，古巴比倫人、古埃及人、古代中國人，都是舉著一個一個的個例，沒有把它上升到定理的高度。作者可以不斷地重復列舉類似的例子，用直徑切割一個一個的圓，但是卻從來沒有人下一個普遍意義上的陳述性斷言。而泰勒斯跨越了這個鴻溝，通過這樣的操作，泰勒斯明確地給幾何圖形賦予了抽象的數學對象的地位。
這種思維階段，正類似於2000多年以前美索不達米亞人，首先將數字從計數的對象上獨立出來。所以有了這樣的定理才會有後邊的推論。我們所有的每一句話都一定有一個前提，就你前邊的那個前提得是正確的，你後邊這句話的推理才會是正確的。那麼一直推到最後最前面那句話是什麼？後來一個集大成者叫歐幾里得，他寫了一本書叫《幾何原本》。在今天看來，大家都不知道歐幾里得是什麼樣的人，很有可能歐幾里得就不是一個人，他可能是一群人。而這個《幾何原本》的再版次數，在全世界僅次於《聖經》。
《幾何原本》給出的5條公理，是我們所有幾何學其它定理的起點。比如說任意兩點能夠定義一條線段，然後若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角和，那麼這兩條直線在各自不斷延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
我給大家講一個案例，就是大家知道徐州有一個漢楚王陵。這個楚王陵最神奇的地方在哪兒？你想那個時候的人修一個墓道，他要求這兩條的邊一定是要盡量平行的。然後就用當時的工具修了兩條平行的牆。現代的人開始測量這個平行的牆有多平行，後來發現這兩條平行的牆，如果一直延伸出去的話，它們的交點在西安。就是從徐州一直延伸到西安，這兩條平行線才會交匯，就證明做得是多麼了不起。所以幾何對於我們來講是很重要的。
在公元前287年，揭秘π這件事的那個人出現了，叫阿基米德。阿基米德最常說的一句話，叫作“尤里卡”。尤里卡是什麼意思？就是我發現了，我明白了這樣的意思。他在那個浴缸里邊泡著，然後看到那個水溢出去，然後說尤里卡，我終於明白了浮力的關系，就是排出的水的重量。
阿基米德研究π是相當精確的。我們對比一下《九章算術》當中，中國人算的《九章算術》當中，這個π的值接近於3，然後用化圓為方的這種方法，大家能夠算到3.16。阿基米德算到3.1408到，3.1428之間，大概誤差就是0.03%。
人們慢慢地發現這個數字除不盡。這里邊跳一下，我們到2015年的3月14號，你看，突然跳到這一天。你們覺得這一天應該是一個什麼日子？2015年3月14號。如果用西方的表述數字，來表述出來的話，是3.1415。你看到嗎？所以這一天被人們稱作π節。這個π節在法國是巨集大的慶祝，從一個宮殿里邊3.14，然後一直往外寫，一直往外寫，寫到大街上，整條大街到處都貼著π的數字，因為圓周率是無窮無盡的。
你知道圓周率里邊，有一個很有意思的現象。比如說我是1976年3月24號出生的，所以我的生日數列就是19760324。這是我自己獨有的生日數列。你會發現在π當中一定能夠找到19760324這個數列。然後所有人的生日，你們每個人，你們1987什麼什麼，你們每個人的數列在π當中一定都能夠找到，具體在哪一位不知道。有可能在幾百萬位以後，只要你有這耐心，一定找得到。這個事目前沒有證偽，就是所有的人都能找到，這個是事實。但是沒法證明這件事，就是你說有什麼規律證明這件事，不知道。但是還沒有一個人的生日在π當中找不到這樣的數列，因為它的確是太長了。
如果我們只學直角三角形，那麼勾股定律a²+b²=c²，這就結束了。但你會知道這個世界上，還有很多三角形是不規則的，不規則的三角形是由阿拉伯人來揭示的。你知道人類歷史上有一個階段，你如果學過《人類簡史》的話，你會知道有一個階段最文明的科學，都集中在阿拉伯地區。所以阿拉伯人發現，測量夾角比測量距離更容易。
什麼意思？就比如說我要測量一個特別大的三角形的面積，這時候你會發現你要量那麼遠的地方，你根本去不了，你不可能環游世界。但是如果我把角度能夠量出來，這個是很容易的，角度最多的360度，所以我一定能量出來。我如果能夠量出這個角度來，我就能夠控制那個距離，這個關系是非常了不起的。應該說希臘人是人類歷史上第一個建立了三角函數表的民族。現今流傳下來的最古老的三角函數表載於托勒密的一本書，叫作《天文學大成》。
對於三角學來說，阿拉伯世界的學者起到了關鍵的作用。不僅僅因為他們撰寫出了更精確的三角函數表，還因為他們對於三角函數的應用。1427年，阿爾·卡西發表了他的著作叫作《算術之鑰》。卡西定理的原理，基於修正的畢達哥拉斯定理，也就是說如果一個三角形，不是直角三角形，那麼兩條較短邊邊長的平方和就不等於第三條邊的平方。然而只需要添加一個修正項，這個等式又會成立了，而這個修正項，是通過計算兩條較短邊邊長之間夾角的餘弦得出的（就是我們說的cos那個概念）。直到今天，卡西定理依然是經常使用的三角學的結論之一。
各位你知道，這件事對你們來講有多重要？你們今天來這個地方的時候，有沒有用GPS？如果你用了GPS，你就得感謝卡西，沒有他去研究sin、cos，我們根本沒法定位這個人在哪兒。你知道你是怎麼被衛星發現的？就是你的手機在任何一個地方都會有周圍三個基站找到你。這三個基站找到你以後，就形成了很多個三角形，通過快速地計算，你的位置就被精確地確定。你到底在高速公路的邊上，輔路，還是主路，橋上，還是橋下，通過這三個基站的信號，通過sin cos的系列轉換的運算，只不過不用我們拿手算了，通過計算機，就能夠算出你精確的位置。這就是數學，對於我們現實生活的影響。
這是幾何學。我們前面講幾何學是數學世界里的王后。那國王是誰？你要知道，在過去都是幾何學特別占優。原因是所有的數學幾乎都可以通過畫圖的方式來求解。就像今天的小孩學到三年級以前，老師都經常教他用畫圖的方式來證明這件事。但是代數的發展實在是太快了，代數的發展很快發展到了畫圖沒法解決的時候。
各位知道你要想研究代數，首先得知道零和負數的這個概念是怎麼來的。世界上寫出第一個0，圓圈代表0這個數字的人，我們應該記住他的名字，他叫作婆什迦羅。婆什迦羅你聽這名是個印度人。
然後婆羅摩笈多，是印度歷史上非常著名的數學家，他描述了零和負數。各位你知道零和負數這個概念的發明有多了不起。你比如說我跟大家講，我說我曾經見過婆羅摩笈多。你們覺得我說的是一句真話，還是一句假話？我說我見過婆羅摩笈多，假話對嗎？假話。但是我如果加上一個數字，我說我見過婆羅摩笈多零次，真話。這就變成了真話。
所以數學是一門賦予不同事物以同樣名字的藝術。有了零，有了負數，我們可以不去考慮這里邊的邏輯語義。我們只需要用加減乘除的方法把它表示出來就可以了。我口袋裡有沒有錢，有錢，有多少？負的。我的口袋裡是負的錢，這就是小孩子們最喜歡玩的游戲。就人們可以去看到或者表達出來很多肉眼看不到的東西，同時賦予它一個人們確切能夠理解的意義。這多了不起的一件事，所以我們要感謝印度人。
然後有一個年份很好記，seven eleven，就711年。711年阿拉伯入侵了印度，所以把數學的這些概念，就把這個印度數字帶到了阿拉伯世界，然後形成了今天我們所說的阿拉伯數字。然後這時候有另外一個非常重要的數學家出現，叫花拉子米。花拉子米是花剌子模人，但是他可能從小生長在巴格達。這個花拉子米給我們發明瞭一樣非常重要的東西，就是今天很多學生很痛恨的東西，叫作代數學。
代數怎麼來的？花拉子米經常會出這樣的題，說尋找一個數字，這個數字乘以數字甲，可以得到數字乙。你看就是這樣的表述方法，那時候沒有加減乘除的符號。大家知道加減乘除這個符號，是一直到文藝復興時期，才被人們真正發明出來的。
所以花拉子米用了另外一種方法，他的所有陳述的開頭都是尋找一個數字，就好像我們說設什麼為X，這個就是代數學的鼻祖。花拉子米不斷地推動著數學的抽象性和普遍性。那時候如果要證明一個平方問題，就是2的平方、3的平方等於多少，很簡單，畫圖就可以了。平方只需要你從那條邊畫出一個正方形，這個平方就能夠算得出來了。所以那個時候的很多人還是在用幾何的方法，在證明數學問題。
但是很快人們就發現了三次方，就是當它有一個三次方的時候，你怎麼樣用畫圖的方式來證明它？那再有四次方怎麼辦？所以這時候你發現，幾何逐漸地被代數甩在了身後。然後這時候蒙古人入侵了阿拉伯的世界，我們讀過成吉思汗的那些書，你就知道。然後歐洲開始接替成為數學的核心。就是這些數學家基本上都逃亡到歐洲去了。然後歐洲的數學研究開始豐富起來。
在公元16世紀初的時候，這時候有一段特別有意思的故事，就是人類開始徵服三次方程。就是在過去人們只會算二次方程，三次方程不會算，所以人們一直以為三次方程無解。這一段故事是充滿著戲劇性，而且可以說是數學史上的一齣鬧劇，特別好玩。
在16世紀初的時候，德爾·費羅費盡了九牛二虎之力，試圖讓他的競爭者們不要窺探到三次方程解法的秘密。就是德爾·費羅解出了三次方程，但他不跟別人說，他悄悄地跟誰都不講。這位博洛尼亞的數學家去世於1526年。然後他有幾個學生，他傳給了他（們），然後德爾·菲奧雷（其中一個學生），壓抑不住自己的天性，決定站出來賣弄。他賣弄的辦法是，他向全歐洲的數學家發出挑戰，說誰能夠解出三次方程就算你贏。漸漸地，人們開始傳播，說三次方程有可能是可解的，逐漸地傳播開來。
1535年一位威尼斯的數學家，尼科洛·塔爾塔利亞接到了德爾·菲奧雷的戰書。當時塔爾塔利亞35歲，沒有什麼名氣，但是他們倆決定比拼一下。雙方互相給對方開了一張難題清單，這就跟我上中學的時候，跟我的同桌乾的事一樣，給對方開了一張難題清單。上面各有30道難題，輸了的人要支付30桌酒宴的錢，誰輸，誰請客。
然後在接下來的幾周時間內，塔爾塔利亞面對德爾·菲奧雷的這個三次方程絞盡了腦汁，結果最終在期限到來前幾天，他福至心靈，終於發現了三次方程的解析式。於是他花了幾個小時的時間把30個三次方程都解開了，贏得了勝利。
然而故事並沒有結束，這個塔爾塔利亞也拒絕向公眾公佈他的方法，一晃就過去了四年，事情回到了過去的原點。然後在這個過程當中，這個三次方程混戰的故事傳到了一位米蘭的數學家（也是工程師）叫吉羅拉莫·卡爾達諾的耳里。
大家聽到吉羅拉莫·卡爾達諾這個名字，汽車愛好者應該不會覺得陌生，因為萬向接頭就叫作卡爾達諾。就是萬向接頭的發明人就是他。這個卡爾達諾使了特別多的詭計，他在1539年給塔爾塔利亞寄了8道三次方程的題，希望塔爾塔利亞能夠告訴他，塔爾塔利亞斷然拒絕。
這位米蘭學者於是非常氣憤，嘗試了恐嚇的手段，通過發動全義大利的數學家聲討塔爾塔利亞，譴責他狂妄無禮、囂張跋扈，但是塔爾塔利亞不為所動。後來在1539年，卡爾達諾把塔爾塔利亞騙到了他的家裡邊，就是騙他來。騙來了以後說，有一個侯爵要見你，這個侯爵要對你進行保護。因為那時候的這些文藝工作者、數學家都需要找到一個領主來保護他。所以這人就去了，去了以後，侯爵根本就不在。
結果他們倆就有好幾天，三天的時間相處，在這三天的時間里邊，卡爾達諾向塔爾塔利亞發誓，不把這個解析過程公佈出來。塔爾塔利亞也將三次方程的解析式告訴了卡爾達諾，但是在很多年以後他們發現德爾·費羅才是第一個解出三次方程的人。於是卡爾達諾認為自己在米蘭的誓言應該是無效的，他在1547年發表了《大術》這篇文章。然後三次方程的解法終於大白於天下，直到今天為止三次方程的解析式，依然以卡爾達諾命名，被稱作卡當公式。
但是在這個過程當中，人們就發現你要解除三次方程，有一個必須要過的關，就是要給負數開平方根。你知道2的平方等於4，-2的平方等於幾，還是4。所以即便是負數的平方也是正數。因此過去的數學里邊認為負數不可能有平方根。因為不可能有一個數的平方是負數。所以怎麼可能有負數的平方根這個概念？
但是你為瞭解三次方程這麼一個數學智力題，人們必須得算到那一步，有一個負數你得給它開平方根。沒辦法。這時候人們的創造力再一次地被推進，人們發明瞭一個數字叫作復雜的數。一開始把它叫復雜的數，後來覺得復雜的數這個稱呼還是不夠清晰、簡潔。笛卡爾後來給這一類數字起了一個名字叫作虛數。
大家遙遠的回憶當中，還有虛數這個概念吧？我不奢望你們知道什麼叫虛數，因為我已經忘記了什麼叫虛數。反正數學里邊學過這個概念，虛數。虛數的概念有多重要？直到幾百年以後，人們才真正應用到了虛數的概念。在哪兒？就是波和量子力學里邊。我們要去研究量子物理學，沒有虛數的概念，你是沒法算的。
我爸爸是個數學教授，我爸爸從小就告訴我說，你雖然不知道數學的作用，但是數學是一切科學的基礎。就是沒有數學上的進步，人們就不可能進一步地瞭解這個世界。我那時候不理解，我直到今天40多歲的時候，我讀到這本書，我才知道，人們只有發明瞭數學工具，才有可能在物理的世界里邊進行進一步的深入的探索和研究，真是了不起。
從此代數進入了抽象的領域，也就是我們沒法再往下講的領域了。這個作者說你也別指望我跟你講明白，因為我也不懂。這個實在是太難了，這是非常專業的數學領域。但是我們就要知道，代數學是遠遠超過我們現實世界所看到的東西，只有它在不斷地延伸和發展，我們這個現實世界才能夠跟得上，這是我們說整個代數發展的過程。
那麼數學是怎麼推動整個人類發展的？咱們舉幾個例子，比如說大家能夠認知的給我們的價值觀帶來改變的人。比如說伽利略，伽利略是一個典型的推動這個世界進步的人，伽利略發明瞭天文望遠鏡，伽利略觀測到了土星環和太陽黑子，然後他還研究了金星的周期，發現了木星的衛星，他是日心說的倡導者，伽利略第一個提出了，一個物體在沒有外力乾擾的情況下，它是保持勻速直線運動或者靜止的。那這個跟我們的觀測是完全不一樣的，我們看到一個東西說它明明不動，但是伽利略認為它會勻速直線運動一直下去。我們看到的是，它扔出去就掉地上了，但是伽利略又說，那是因為有重力的作用。所以牛頓說我是站在巨人肩膀上發現這一切的。那你知道伽利略還做了自由落體，在比薩斜塔做自由落體的運動等等。
伽利略就是塔爾塔利亞的徒孫，就是當年那個證明三次方程的數學家的徒孫。伽利略認為，自然有它內在的規律，被數學法則所控制。所以他可以通過不斷重復性的實驗來發現這些數學的規則，這就是數學對於伽利略的啟發。
那我們再說牛頓。牛頓的公式——F=（G*m1*m2）/r²，就能夠算出萬有引力。沒有萬有引力定律，我告訴你，各位，連個大炮都打不準。就是你的大炮從這兒發射到那一端，能打到那個點上，為什麼打得準？它一定是用公式算出來的。
這里邊最精彩的一段就是，在18世紀末，幾位天文學家發現了天王星——當時已知的太陽系最外側的行星的運行軌道並不規則，天王星並沒有嚴格地遵循人們按照萬有引力計算出來的路徑運行。面對這種現象只能有兩種解釋：要麼是牛頓的理論錯了，要麼還存在著，另外一些未知的天體對天王星的軌道產生了乾擾。從天王星的觀測軌跡入手，勒維耶開始計算這顆假定的新行星的位置。他花了整整2年的時間努力演算，最終得出了一個結果。
接下來就是見證奇跡的時刻，1846年9月23號和24號晚上，德國天文學家，約翰·格弗里恩·伽勒，將望遠鏡對準了勒維耶計算出來的那個方向，他仔細地在視野中尋找，然後他發現了它。廣袤深邃的夜空中，一個小小的藍色光點。在距離地球，超過四十億千米的地方，那顆行星就在那裡！海王星。這就是數學對我們物理世界的影響。人們堅信數學公式的有效性，然後慢慢地去發現了海王星。
牛頓為瞭解決，一個物體運行的速度為什麼只能算平均速度，就你把這個松果從這兒扔到那個牆上，按照牛頓之前的人算，只能算平均速度。但是牛頓說，明明它每個時點的速度是不一樣的，出手的時候最快，到那兒就慢了，要把這個東西準確地算出來。哇，牛頓自己在家裡邊發明瞭一套新的數學工具——微積分，然後後來和萊布尼茨兩個人同時發表，說我們都發明瞭微積分。沒有微積分，人們就沒法認識到有一個東西，叫作無窮小。當我們能夠把一個事物分成無窮小的時候，我們才能夠接近於limit，就是極限地去計算它的精確度。
那天我在八大處爬山，重陽節的時候，聽到兩邊兩個驢友在聊天。北京的驢友層次真的好高，一個驢友就跟旁邊那大叔說，知道什麼叫微積分嗎？那大叔說，你跟我說說。驢友說，你看到地上的台階了嗎？台階一個一個都是長方形，你把這長方形不斷地拼，不斷地拼，拼成一個圓，它就是微積分。聽起來有點糙，實際上是有道理的。這就是古代人整天研究的化圓為方，你把化圓為方能夠化到無窮小，用極小來表述，那就是微積分的思想出現了。所以牛頓是典型的用數學的方法改變了整個人們認知世界方式的這麼一個人。
大家知道愛因斯坦顛覆了牛頓的演算法，因為愛因斯坦認為，星球和星球之間的力量，不是靠萬有引力計算出來的。而是因為太陽有極大的質量，造成了它周圍的時間和光的扭曲，形成了一個像盆子一樣的軌道。所以這些星球在圍繞著太陽這樣轉，這是我們簡單的通俗的說法。
那你怎麼能夠證明愛斯坦是對的？愛因斯坦說因為光是扭曲的，所以我們應該按照，如果是直線，光是直線走的話，我們是看不到太陽背後那顆星星。但是因為我說光是扭曲的，所以我們從理論上應該能夠觀測到太陽背後的那顆星。但是你沒法看，因為有一個太陽，那麼亮，誰也看不著。後來大家就等，愛因斯坦已經算出了那個夾角，就是那個光是經過太陽的時候扭曲到這兒，所以他算出那個夾角的度數，都算出來了。大家就沒法證明這件事。
一直到1919年的5月那天，全世界出現了日全食。日全食以後，所有的天文學家就拿起望遠鏡，朝著愛因斯坦所說的那個方向看了過去，這時候見證了愛因斯坦廣義相對論的勝利。這就是又一個層次的數學不同。然後2012年的希格斯玻色子的發現，證實了早先預設中的粒子物理學的標準模型，以及2015年9月14號引力波的存在首次被檢測到。
為了讓他們的發現獲得合法性，所有偉大的科學發現都需要數學的幫助，即代數方程和幾何圖形的幫助。數學已經展現出了它們不可思議的強大力量，在今天，沒有任何一條，嚴謹的物理學理論敢用除了數學語言之外的其他語言進行描述。
就是你說我發現了一個定理，我用詩一樣的語言描述出來，沒用，排比句都沒用。你必須得用數學的語言描述出來，才能夠被全世界認知、瞭解。這就是數學的重要性，也是數學的魅力所在。這里邊就到了，愛因斯坦所說的，竟然如此簡潔，我們的自然能夠如此優雅地使用數學語言和我們交談，這是多麼神奇的一件事。大自然用這麼簡潔的方式跟我們溝通。
奇跡的出現並不僅僅在於萬有引力。電磁現象、基本粒子的量子機能，時-空的相對變形，所有這些現象都能夠，以簡潔得令人吃驚的數學語言表達。這個最著名的公式E=mc²，這個由愛因斯坦建立的等式，展示了物體質量與能量之間的等價關系。這個通常被認為是關於我們生存的這個宇宙，最迷人、最深刻的原理的代數公式，僅僅有五個符號構成。這是怎樣的神奇？關於這種神奇，愛因斯坦說過一句著名的話，“宇宙最不可理解之處，就是它居然可以被理解”。
所以人們對於宇宙還有特別多復雜的疑問，這個作者講，讀者們，請別指望我能夠給你們答案。我也要告訴大家，不要指望我能夠給你們答案。我們就希望聽過這本書的人能夠對數學有一點好感，有一點親近的感覺。如果是一個孩子，你完全有機會成為偉大的數學家。還有圖靈機的發現到計算機，到今天的萬維網。這個世界越來越復雜，然後復雜科學，混沌科學，混沌數學，復雜代數，全部都是從最早的我們所說的那個美索不達米亞的那些楔形的數字演化到今天的。
那麼我們講講未來的數學什麼樣？20世紀數學界最閃耀的寶石，應該被稱作曼德博集合。什麼叫曼德博集合？我給大家一組數字，0 2 6 38 1446，你會覺得這數字也太離譜了。這是什麼數列？這個數列有一個公式，就是0，這是第一個數字，第二個數字什麼呢？0的平方加2，這不就是2。然後2的下一個數字什麼呢？2的平方加2，是6。然後再下一個數字，6的平方加2，38。然後38的平方加2，1446。
然後當人們把這個數列，用圖形的方式表達出來了以後，你會發現，就是如果把這組數列，背後的那個數字你可以不加2，你可以加1，可以加3，可以加不同的數字，我們慢慢就會生成這樣一幅圖。你有沒有發現它是一個完美對稱的圖形？很像我們自然界當中的圖形，你再往後翻一頁，你會發現不可思議的東西出現了，像不像雪花？像不像章魚的觸角？整個世界竟然有著如此完美的分形。
所謂分形是什麼？就是你看雪花，這麼大一片，你把雪花其中的一支拿出來看，它是很多個這樣的小小的東西組成的。你再往小看，又是很多小小的這個東西組成的。你在太空中看那個海岸線，海岸線的那個岩石的樣子，然後再往下濃縮，找一塊石頭。看這個石頭上凸出的紋路，再往下細小，竟然都一樣。這個東西就是我們整個自然界分形這個現象的來源。
所以一直到20世紀80年代，在電子計算機的幫助下，人們才最終獲得了精確的圖形，法國數學家本華·曼德博是第一批深入研究這個圖形的幾何性質的學者之一。於是後來他的數學家同事們就給這個圖形命名為“曼德博集合”。曼德博集合非常迷人！它的輪廓是一個幾何花邊，具有不可思議的和諧性和精確性。如果放大它的邊界，你會看到越來越無限精細的、以令人難以置信的方式雕琢而出的圖案（它可以無限地分下去，就這個數列。）。
如果需要根據奇形怪狀的復雜方程，專業而混亂的計算過程或者荒謬離奇的數學結構來畫出這樣的美妙圖形，我們或許可以說：“當然了，這個圖形是美麗的，但它完全是‘人’造的，所以沒什麼意思。”可是，並不是這樣，這個圖形僅僅是一些數列的基本性質的幾何表示，而這些數列的定義只需要幾個字就能說清楚。從一個如此簡單的規則出發誕生瞭如此美妙的幾何奇跡。這種發現必然再次引起關於數學本質的大討論：什麼是數學的本質？數學到底是人類的發明，還是一種獨立的存在？數學家到底是創造者，還是發現者？
這個問題值得我們深思，是我們人造了這麼一套體系，還是我們人逐漸摸索到了自然原本就存在的秘密的體系，這就是探索的過程。的確，在幾乎所有的科學領域，我們總是能夠發現那些特別美的事物。天文學家提供給我們的天體照片，我們驚嘆於星系的形狀、彗星閃閃發光的尾部，或者星雲瑰麗的色彩。宇宙是美麗的，確實如此，我們運氣很好。但是我們也必須得承認，如果宇宙不是這麼美麗，我們也沒有什麼辦法。數學家有時候也不知道自己在做什麼。往往在數學家去世很久很久以後，他們創造出的數學才完全揭開了自己的秘密和真正的屬性。又或許我們也依然猜不出這些數學在下個世紀，將會實現怎樣的應用。只有時間知道如何給出合適的距離，來欣賞數學創造所具有的真正價值。
我讀到這一段的時候就想起來我爸爸告訴我，他這一輩子他認為算得最棒的一個公式。他那時候在西北農業大學農機系，農機系就要搞農業機械，農業機械里邊有一個，就有一個機器的刀頭，是一個不規則的曲面。這個刀頭就很難生產，因為人們不知道這個刀頭的公式，人們只能夠看到是那麼樣的一個人國外進口來這麼一個曲面，這麼一個曲面的刀頭。每次生產就要鑄模，就要乾嗎，經常出現誤差，那個刀頭就會出問題。
後來我爸就把那個刀頭拿回家，自己就測量那個刀頭上的數據，測量完了以後，我爸爸悶頭在家裡邊算出了那個曲面刀頭的方程，就是叫作曲面方程。他把那個曲面方程算出來了以後，生產那個刀頭再也沒有問題，就是因為人們知道了那個刀頭的曲面的規律。當時他們的校長，還有這方面的專家都覺得這個年輕人真的了不起，能夠無中生有地找出一個公式來。事實上就可能像是那些偉大的數學家去發現了宇宙的那些更加終極的秘密一樣，這就是數學對我們的影響和它的美好之處。
最後還有一個小知識傳遞給大家，大家見過那種正多面體嗎？正多面體。見過嗎？比如我們會看到正四面體，周圍都是三角型的那個，正四面體，還有正六面體。就是大家見過魔方這樣的東西，還包括正八面體。那麼最多能夠正多少面體呢？人們甚至以為它可以無限地區分，而且有很多的這種文化衍生品都做成很多個側面這樣的。但是事實上，早在古希臘的時候，泰阿泰德就已經揭示了這個秘密，所有的正多面體最多是二十面體，也就是我們說的四面體、六面體、八面體、十二面體、二十面體。這個東西被叫作柏拉圖立體，實際上跟柏拉圖沒有任何關系，是泰阿泰德發現的。
那麼直到今天我們看到足球，足球都是十二面體，最多是二十面體。它可以不斷地切，但是它永遠的那個頂點都是這麼多。而這個東西跟我們有什麼關系？你們如果去瞭解你們身體里的那些病毒，都是接近於正十二面體，或者是正二十面體的。因為用這樣的方式生長是最均衡的，這就是整個世界的奇妙之處。
所以，我沒法講出整本書所有奇妙的東西，我給大家梳理的是數學整個發展的歷史和過程。我們能夠知道我們今天所學的那些代數、幾何、立體幾何、解析幾何都是有它的淵源的，而且它在人類的歷史上是多麼酷，多麼重要。所以每一個孩子，我勸大家一定要愛上數學。因為它既美又神秘，它才是真正這個世界上最酷的事情。希望這本書能夠讓所有人親近數學，謝謝大家 我們下周見。
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